1. Giới thiệu về loại bài toán Xác suất có điều kiện và tầm quan trọng của nó

Bài toán xác suất có điều kiện là một trong những nội dung trọng tâm trong chương trình Toán lớp 12, thuộc chuyên đề Xác suất và Thống kê. Khi giải quyết các tình huống thực tế, chúng ta thường cần biết xác suất của một biến cố xảy ra, nhưng với điều kiện rằng một biến cố khác đã hoặc chưa xảy ra. Ví dụ: xác suất một người nhiễm bệnh cho trước đã xét nghiệm dương tính, xác suất một lá bài thứ hai rút ra là quân “Át” khi lá bài thứ nhất đã rút được “Át”… Việc nắm vững cách giải bài toán xác suất có điều kiện giúp học sinh phát triển tư duy phân tích, ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật.

2. Phân tích đặc điểm của bài toán xác suất có điều kiện

Các bài toán xác suất có điều kiện thường có các đặc điểm sau:

- Liên quan đến hai (hoặc nhiều) biến cố $A$,$B$, trong đó ta cần tính xác suất$P(A)$dưới điều kiện biến cố $B$ đã xảy ra hoặc ngược lại.

- Phải đảm bảo$P(B)>0$để$P(A\mid B)$có nghĩa.

- Thường xuất hiện trong các bài toán rút mẫu có hoàn lại hoặc không hoàn lại, bài toán thống kê kiểm định, bài toán Bayes…

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Trước khi bắt tay vào tính toán, học sinh nên xây dựng một chiến lược chung gồm các bước sau:

1) Đọc kỹ đề, xác định rõ biến cố $A$, biến cố $B$và mối quan hệ giữa chúng.

2) Kiểm tra xem bài toán yêu cầu tính$P(A\mid B)$,$P(B\mid A)$hay$P(A \cap B)$, từ đó chọn công thức phù hợp.

3) Nếu cần, vẽ sơ đồ cây (tree diagram) để minh hoạ thứ tự rút mẫu hoặc các bước tương tác giữa các biến cố.

4) Sử dụng công thức cơ bản$P(A\mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$hoặc Công thức Bayes nếu biến đổi chiều điều kiện.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh hoạ

Chúng ta sẽ phân tích ví dụ cơ bản sau:

Ví dụ: Trong một túi có 3 viên bi đỏ, 2 viên bi xanh. Rút ngẫu nhiên 2 viên không hoàn lại. Tính xác suất để viên rút thứ hai là đỏ, biết rằng viên rút đầu tiên là đỏ.

Bước 1: Xác định biến cố.

-$A$: “viên rút thứ hai là đỏ”.

-$B$: “viên rút thứ nhất là đỏ”.

Bước 2: Áp dụng công thức xác suất có điều kiện:

$P(A\mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Bước 3: Tính$P(B)$và $P(A \cap B)$.

- Có tổng cộng$5$viên, nên P(B)=P(\text{rút viên đầu là đỏ})=\frac{3}{5} .

-$P(A \cap B)$là xác suất “viên đầu tiên đỏ và viên thứ hai đỏ”:

+ Khi viên đầu là đỏ (có 3 viên đỏ ban đầu), còn lại 2 viên đỏ trong tổng 4 viên.

+ Do đó $P(A \cap B)=P(B) \times P(A\mid B)=\frac{3}{5} \times \frac{2}{4}=\frac{3}{10}$.

Bước 4: Tính$P(A\mid B)$:

$P(A\mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{3}{10}}{\frac{3}{5}}=\frac{1}{2}.$

=> Xác suất viên thứ hai là đỏ, biết viên đầu tiên đã đỏ, bằng$0{,}5$.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

- Công thức xác suất có điều kiện cơ bản:$P(A\mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)},\quad P(B)>0.$

- Công thức nhân xác suất:$P(A \cap B)=P(A)\,P(B\mid A)=P(B)\,P(A\mid B).$

- Định lý Bayes (đổi chiều điều kiện):$P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)\,P(A)}{P(B)},\quad P(B)>0.$

- Sơ đồ cây (Tree diagram) để theo dõi các bước rút mẫu, tồn tại hoàn lại hoặc không.

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

a) Rút mẫu có hoàn lại hoặc không hoàn lại: số lượng phần tử thay đổi qua mỗi lần rút, cần chú ý cập nhật mẫu còn lại.

b) Nhiều bước, nhiều biến cố: sử dụng công thức nhân nhiều lần:$P(A_1 \cap A_2 \cap \cdot s \cap A_n)=P(A_1)P(A_2\mid A_1) \cdot s P(A_n\mid A_1 \cap \dots \cap A_{n-1}).$

c) Bài toán Bayes mở rộng: phân tích các khả năng phân lớp, tính $P(B)$qua tổng xác suất:$P(B)=\sum_i P(B\mid A_i)P(A_i).$

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập: Từ bộ bài 52 lá (không phân chất), rút ngẫu nhiên 2 lá liên tiếp không hoàn lại. Tính xác suất lá thứ hai là ♠, biết lá đầu tiên là ♠.

Giải:

- Gọi$A$: “lá thứ hai là ♠”,$B$: “lá đầu tiên là ♠”.

-$P(B)=\dfrac{13}{52}=\dfrac{1}{4}$.

- Khi đã rút ♠ đầu tiên, còn lại 12 lá ♠ trong 51 lá:$P(A\mid B)=\dfrac{12}{51}=\dfrac{4}{17}$.

- Áp dụng công thức:$P(A\mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)},$nhưng ở đây$P(A \cap B)=P(B)P(A\mid B)=\frac{1}{4} \times \frac{4}{17}=\frac{1}{17}$.

=> Xác suất yêu cầu là $\dfrac{4}{17} \approx 0{,}2353$.

8. Bài tập thực hành

Đề 1: Trong một hộp có 5 bóng trắng, 7 bóng đen. Rút 3 bóng không hoàn lại. Tính xác suất bóng thứ ba trắng khi biết hai bóng đầu đều đen.

Đề 2: Một xét nghiệm y khoa có độ nhạy 99% và độ đặc hiệu 95%. Trong dân số, tỷ lệ mắc bệnh là 1%. Tính xác suất một người thực sự mắc bệnh khi xét nghiệm cho kết quả dương tính.

Đề 3: Cho biến cố $A,B,C$ độc lập đôi. Chứng minh:$P(A\mid B \cap C)=P(A)$.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

- Luôn xác định rõ biến cố điều kiện và biến cố cần tính xác suất.

- Kiểm tra điều kiện$P(B)>0$trước khi áp dụng công thức.

- Cẩn thận cập nhật số lượng phần tử khi rút không hoàn lại.

- Sử dụng sơ đồ cây để tránh quên nhánh và sai sót khi tính nhiều bước.

- Khi áp dụng Bayes, ghi rõ các biến cố phân lớp và tổng xác suất để tính mẫu số.

- Ghi kết quả dưới dạng phân số tối giản hoặc số thập phân có độ chính xác phù hợp.