Cách giải bài toán xác suất có điều kiện với sơ đồ hình cây cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu về bài toán xác suất có điều kiện với sơ đồ hình cây

Bài toán xác suất có điều kiện sử dụng sơ đồ hình cây là một trong những dạng bài quan trọng nhất trong chương trình Toán 12. Loại bài này không chỉ thường gặp trong các đề kiểm tra mà còn xuất hiện rất nhiều trong đề thi THPT Quốc gia. Việc nắm vững phương pháp giải giúp học sinh tăng điểm số và hiểu sâu bản chất xác suất trong cuộc sống thực tiễn.

2. Đặc điểm của bài toán xác suất có điều kiện dùng sơ đồ hình cây

• Bài toán có nhiều giai đoạn, hoặc kết quả của giai đoạn sau phụ thuộc vào giai đoạn trước.
• Các nhánh trên sơ đồ hình cây biểu diễn chuỗi các sự kiện xảy ra liên tiếp.
• Xác suất của một nhánh được tính bằng tích các xác suất trên đường đi từ gốc tới nhánh đó.
• Sơ đồ giúp minh họa rõ ràng mối quan hệ giữa các sự kiện, giúp dễ xác định xác suất có điều kiện.

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận dạng bài

• Hiểu bản chất các sự kiện và bước tiến trình.
• Lập sơ đồ hình cây cho toàn bộ diễn tiến bài toán.
• Điền xác suất cho từng nhánh dựa vào thông tin đề bài (có thể là xác suất có điều kiện).
• Tìm xác suất của biến cố cần tính bằng cách xác định tất cả các nhánh dẫn tới biến cố đó, sau đó cộng các xác suất của các nhánh đó lại.

4. Các bước giải chi tiết cùng ví dụ minh họa

Ví dụ minh họa chi tiết

Ví dụ: Một hộp có 3 bi trắng và 2 bi đen. Lấy ngẫu nhiên 2 bi liên tiếp không hoàn lại. Tính xác suất để lấy được 2 bi cùng màu.

Giải:

-Bước 1:Có 3 bi trắng (gọi là T), 2 bi đen (gọi là Đ). Gọi A: "Hai bi cùng màu".

-Bước 2:Sơ đồ cây gồm 2 tầng:• Tầng 1 (lấy lần 1): chọn trắng (T) hoặc đen (Đ).• Tầng 2: tùy màu lần 1 chọn mà xác suất các nhánh tầng 2 thay đổi.

-Bước 3:Điền xác suất cho từng nhánh:• Lần 1: Xác suất lấy được T là $\frac{3}{5}$, Đ là $\frac{2}{5}$.• Lấy được T lần 1, lần 2 lấy tiếp T là $\frac{2}{4}$, lấy Đ là $\frac{2}{4}$.• Lấy Đ lần 1, lần 2 lấy tiếp Đ là $\frac{1}{4}$, lấy T là $\frac{3}{4}$.

-Bước 4:Các nhánh thỏa mãn "hai bi cùng màu":• Nhánh 1: Lần 1 lấy T, lần 2 tiếp tục lấy T:$\frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{3}{10}$• Nhánh 2: Lần 1 lấy Đ, lần 2 tiếp tục lấy Đ:$\frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{10}$

-Bước 5:Tổng xác suất:$P(A) = \frac{3}{10} + \frac{1}{10} = \frac{4}{10} = 0,4$.

5. Công thức và kỹ thuật cần ghi nhớ

• Công thức xác suất có điều kiện:$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
• Xác suất của một đường trên sơ đồ hình cây là tích các xác suất trên đường đó.
• Tổng xác suất các nhánh từ gốc đến cùng một tầng là 1.
• Kỹ thuật xác định các nhánh độc lập/thỏa mãn biến cố mong muốn để cộng xác suất.

6. Các biến thể thường gặp và cách điều chỉnh chiến lược

• Bỏ hoàn lại hoặc không hoàn lại: Nếu không hoàn lại, xác suất nhánh sau thay đổi do số lượng phần tử thay đổi; nếu hoàn lại thì xác suất các nhánh không đổi.
• Lấy nhiều lần hơn 2 lần: Tăng số tầng trên cây; hãy nhóm các nhánh giống nhau để tiết kiệm thời gian.
• Tính toán xác suất ít nhất, nhiều nhất, hoặc số lượng nhất định: Lưu ý dùng tổ hợp trong xác định các nhánh phù hợp.
• Dùng xác suất 'điều kiện ngược': Đôi khi phải dùng xác suất bổ sung hoặc xác suất biến cố đối.

7. Bài tập mẫu giải chi tiết từng bước

Bài tập: Có một hộp chứa 4 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 viên bi không hoàn lại. Tính xác suất để viên thứ hai lấy ra là bi xanh.

Giải:

- Bước 1:Có 4 viên đỏ (Đ), 3 viên xanh (X); lấy hai viên liên tiếp, không hoàn lại.

- Bước 2:Sơ đồ cây tầng 1: lấy Đ hoặc X lần đầu,Tầng 2: lần 2 lấy Đ hoặc X tùy trường hợp.

- Bước 3:Điền xác suất: • Lần 1 lấy Đ:$\frac{4}{7}$, X:$\frac{3}{7}$. • Nếu lần 1 là Đ, lần 2 lấy X:$\frac{3}{6}$. • Nếu lần 1 là X, lần 2 lấy X:$\frac{2}{6}$.

- Bước 4:Có hai nhánh khiến viên thứ hai là X:• Nhánh 1: lần 1 lấy Đ, lần 2 lấy X:$\frac{4}{7} \times \frac{3}{6} = \frac{2}{7}$. • Nhánh 2: lần 1 lấy X, lần 2 lấy X:$\frac{3}{7} \times \frac{2}{6} = \frac{1}{7}$.

- Bước 5:Cộng lại:$P = \frac{2}{7} + \frac{1}{7} = \frac{3}{7}$.

8. Bài tập thực hành tự luyện (có đáp số)

• Bài 1: Một hộp có 5 bi đỏ, 2 bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 2 bi liên tiếp không hoàn lại. Tính xác suất để cả 2 bi lấy ra đều đỏ. (Đáp số:$\frac{10}{21}$)
• Bài 2: Một hộp có 3 bút xanh, 2 bút đỏ. Rút lần lượt từng cây ra không hoàn lại. Tính xác suất để cây thứ hai rút ra là bút đỏ. (Đáp số:$\frac{2}{5}$)
• Bài 3: Một túi có 4 viên bi trắng và 1 viên bi đen. Rút ngẫu nhiên 2 viên, mỗi lần rút không hoàn lại. Tính xác suất để rút được 1 viên trắng và 1 viên đen (không tính thứ tự). (Đáp số:$\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$)
• Bài 4: Có 2 hộp, hộp 1 chứa 3 bi đỏ, 2 bi xanh; hộp 2 chứa 2 bi đỏ, 3 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên một hộp rồi rút 1 viên bi. Tính xác suất rút được viên bi đỏ. (Đáp số:$\frac{5}{14}$)

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

• Luôn vẽ sơ đồ hình cây trước khi tính toán để không bỏ sót các trường hợp.
• Kiểm tra kỹ điều kiện "hoàn lại" hoặc "không hoàn lại" vì sẽ ảnh hưởng xác suất các bước sau.
• Không cộng xác suất các nhánh không độc lập; chỉ cộng khi các nhánh dẫn đến cùng biến cố và độc lập với nhau.
• Luôn đảm bảo tổng xác suất các đường ra từ một nút là 1.
• Viết thật rõ ràng từng nhánh trên sơ đồ cây. Nếu nhánh nhiều, nên nhóm các nhánh giống nhau lại.
• Nếu cần tính xác suất một sự kiện "ít nhất", "nhiều nhất", hãy xét đầy đủ trường hợp theo biến cố đối.