Cách giải bài toán xác suất có điều kiện với sơ đồ hình cây lớp 12

1. Giới thiệu về bài toán xác suất có điều kiện với sơ đồ hình cây

Bài toán xác suất có điều kiện là dạng bài cực kỳ cơ bản, quan trọng trong chương trình Toán lớp 12 và đồng thời cũng thường xuất hiện rất nhiều trong đề thi THPT Quốc gia. Sử dụng sơ đồ hình cây là một kỹ thuật trực quan, cực kỳ hữu hiệu để biểu diễn các giai đoạn của một biến cố có tính phân nhánh. Nhờ vậy, việc xác định xác suất có điều kiện đơn giản và hệ thống hơn, tránh được các nhầm lẫn phổ biến. Nếu muốn chinh phục các câu hỏi xác suất trong đề kiểm tra, thi tốt nghiệp hay thi đại học, bạn nhất định phải thành thạo cách giải bài toán xác suất có điều kiện với sơ đồ hình cây.

2. Đặc điểm của bài toán xác suất có điều kiện với sơ đồ hình cây

• Bài toán gồm nhiều giai đoạn lựa chọn, mỗi giai đoạn có thể phụ thuộc vào kết quả giai đoạn trước.
• Có thể yêu cầu tính xác suất một hoặc nhiều biến cố xảy ra liên tiếp hoặc đồng thời.
• Thông thường, đề bài sẽ đưa ra nhiều tình huống phân nhánh, kèm theo xác suất riêng ở mỗi nhánh.
• Tính xác suất của các biến cố dạng 'sau khi biết thông tin đã xảy ra', tức xác suất có điều kiện.

3. Chiến lược tổng thể: cách giải bài toán xác suất có điều kiện với sơ đồ hình cây

• Tóm tắt và phân tích kỹ đề bài: xác định rõ số lượng giai đoạn, các trường hợp phân nhánh và biến cố cần tính.
• Vẽ sơ đồ hình cây thể hiện đầy đủ các khả năng có thể xảy ra. Mỗi nhánh biểu diễn một sự lựa chọn hoặc một biến cố.
• Ghi xác suất lên từng nhánh của cây, chú ý xác suất trên mỗi nhánh con là xác suất có điều kiện dựa trên nhánh cha.
• Tính xác suất của một con đường (nhóm kết quả): lấy tích các xác suất trên các nhánh đi qua con đường này.
• Tổng xác suất các con đường thỏa mãn điều kiện để tìm xác suất biến cố yêu cầu.

4. Các bước giải chi tiết kèm ví dụ minh họa

Ví dụ: Có một hộp chứa 3 bi đỏ và 2 bi xanh. Lấy lần lượt 2 bi không hoàn lại. Tính xác suất để lấy được bi xanh ở lần thứ hai, biết lần đầu lấy được bi đỏ.

1. Xác định các giai đoạn: Lần 1 và lần 2 lấy bi.
2. Vẽ sơ đồ hình cây:
   - Nhánh đầu tiên: Lấy bi đỏ (D) hoặc bi xanh (X).
   - Đối với mỗi nhánh, tiếp tục phân nhánh lần 2 dựa theo số lượng bi còn lại.
3. Ghi xác suất lên từng nhánh:
   - Lần 1: P(D) = $\frac{3}{5}$, P(X) = $\frac{2}{5}$.
   - Nếu lần 1 lấy D, lần 2: còn 2 D, 2 X => P(X|D) = $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
   - Nếu lần 1 lấy X, lần 2: còn 3 D, 1 X => P(X|X) = $\frac{1}{4}$.
4. Đánh dấu quãng đường cần xét: Đề hỏi 'lần đầu lấy D, lần hai lấy X'.
5. Tính xác suất:
   P = P(D) \times P(X|D) = $\frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{10}$

Tóm lại: Vẽ cây, điền xác suất, xác định đường phù hợp yêu cầu đề, nhân các xác suất trên đường rồi cộng các đường nếu cần.

5. Các công thức và kỹ thuật xác suất cần nhớ

• Công thức xác suất có điều kiện: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
• Tính xác suất trên một 'nhánh': Lấy tích tất cả xác suất trên các nhánh đi qua con đường đó.
• Công thức xác suất toàn phần:
  $P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + \ldots + P(A_n)P(B|A_n)$
  (khi$A_i$phân hoạch không gian mẫu)

6. Các biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

Có thể đề bài yêu cầu xác suất tổng quát (tất cả các trường hợp thỏa mãn), hoặc xác suất ngược (xác suất A biết B đã xảy ra). Khi đó cần sử dụng thêm công thức Bayes:

$P(A_i|B) = \frac{P(A_i)P(B|A_i)}{\sum_{k=1}^{n}P(A_k)P(B|A_k)}$

Ngoài ra, nếu số giai đoạn lớn, nên rút gọn cây ở mức tối thiểu hoặc xét các biến cố tổng quát từng bước.

7. Bài tập mẫu giải chi tiết từng bước

Bài tập: Một túi chứa 4 bi trắng và 3 bi đen. Bốc liên tiếp 2 lần, mỗi lần lấy 1 bi rồi không hoàn lại. Hãy tính xác suất để 2 bi lấy ra khác màu nhau.

1. Giai đoạn 1: Có 2 trường hợp - Lấy trắng hoặc lấy đen.
   - Lấy trắng: xác suất $\frac{4}{7}$
   - Lấy đen: xác suất $\frac{3}{7}$
2. Giai đoạn 2:
   - Nếu lần 1 lấy trắng: còn 3 trắng + 3 đen => lấy đen lần 2 xác suất $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
   - Nếu lần 1 lấy đen: còn 4 trắng + 2 đen => lấy trắng lần 2 xác suất $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
3. Tổng xác suất: Vẽ 2 nhánh cây lớn:
   - Lấy trắng rồi đen: $\frac{4}{7} \times \frac{3}{6} = \frac{1}{7}$
   - Lấy đen rồi trắng: $\frac{3}{7} \times \frac{4}{6} = \frac{2}{7}$
   $\Rightarrow P = \frac{1}{7} + \frac{2}{7}= \frac{3}{7}$

8. Bài tập thực hành tự giải

• Một hộp có 5 bóng xanh và 3 bóng đỏ. Lấy liên tiếp 2 bóng không hoàn lại. Tính xác suất lấy được 2 bóng cùng màu.
• Một lớp có 6 bạn nam và 4 bạn nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 bạn để phân nhiệm vụ, hỏi xác suất cả hai bạn được chọn là nữ.
• Trong hộp có 2 đồng xu thật, 1 đồng xu giả (hai mặt đều ngửa). Lấy ngẫu nhiên một đồng xu, gieo lên thấy ra mặt ngửa. Tính xác suất lấy phải đồng xu giả.

9. Mẹo và lưu ý để tránh nhầm lẫn

• Luôn vẽ cây đầy đủ, tránh bỏ sót trường hợp.
• Kiểm tra tổng xác suất các nhánh con ở một điểm phải bằng 1.
• Đọc kỹ yêu cầu đề: xác suất điều kiện đúng hướng chưa, tránh nhầm$P(A|B)$với$P(B|A)$.
• Nên dùng kí hiệu ngắn gọn cho các nhánh, đỡ rối.
• Nếu nhiều biến cố, nên tổng xác suất các trường hợp thỏa mãn, tránh thiếu hoặc đếm lặp.