Cách giải bài toán xét tính đơn điệu bằng bảng xét dấu đạo hàm lớp 12 – Chiến lược chi tiết và ví dụ minh họa

1. Giới thiệu về bài toán xét tính đơn điệu và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 12, xét tính đơn điệu của hàm số bằng bảng xét dấu đạo hàm là một trong những kỹ năng trọng tâm và thiết thực nhất. Bài toán này không chỉ giúp học sinh hiểu sâu về bản chất hàm số mà còn là bước nền tảng cho nhiều bài toán quan trọng hơn như tìm cực trị, vẽ đồ thị, giải bất phương trình và ứng dụng trong thực tiễn, đặc biệt là trong các kỳ thi THPT quốc gia.

2. Đặc điểm của dạng bài toán xét tính đơn điệu

Dạng toán này yêu cầu xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của một hàm số trên một khoảng xác định dựa vào dấu của đạo hàm cấp 1. Về cơ bản, bạn sẽ phải:

• Tìm tập xác định của hàm số
• Tính đạo hàm cấp 1 của hàm số, đưa về dạng tối giản nhất
• Giải phương trình$y' = 0$ để tìm các điểm tới hạn
• Xét dấu$y'$trên các khoảng để lập bảng xét dấu và kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến

3. Chiến lược tổng thể giải bài toán xét tính đơn điệu bằng bảng xét dấu đạo hàm

Dưới đây là khung chiến lược giải dạng bài này:

1. Xác định tập xác định$D$của hàm số.
2. Tính đạo hàm$y'=f'(x)$. Rút gọn nếu có thể.
3. Tìm nghiệm của phương trình$y'=0$và xác định các điểm$x$làm$y'$không xác định.
4. Lập bảng xét dấu$y'$(bảng biến thiên), xác định dấu của$y'$trên mỗi khoảng.
5. Kết luận về tính đơn điệu:$y'$> 0 hàm đồng biến,$y'$< 0 hàm nghịch biến.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Xét bài toán: Xét tính đơn điệu của hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2$.

1. Tìm tập xác định: Hàm$y = x^3 - 3x^2 + 2$xác định trên$\bbR$.
2. Tính đạo hàm:$y' = 3x^2 - 6x$.
3. Giải phương trình$y' = 0$:$3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0 \implies x = 0$hoặc$x = 2$.
4. Lập bảng xét dấu cho$y'$:
   - Xét dấu của$3x(x-2)$:
   - Trên$(-c\infty, 0)$:$x < 0 \Rightarrow y' > 0$
   - Trên$(0,2)$:$0 < x < 2 \Rightarrow y' < 0$
   - Trên$(2, +\infty)$:$x > 2 \Rightarrow y' > 0$
   
   Vẽ bảng biến thiên:
   
   | Khoảng |$(-\infty,0)$|$(0,2)$

   $(2,+\infty)$
   $y'$

   $+$|$-$|$+$|
5. Kết luận:
   - Hàm đồng biến trên$(-\infty,0)$và $(2,+\infty)$
   - Hàm nghịch biến trên$(0,2)$

5. Công thức, kỹ thuật cần nhớ

• Đạo hàm của hàm số $y = f(x)$:
  - Nếu$y'>0$trên khoảng nào thì $y$ đồng biến trên khoảng đó.
  - Nếu$y'<0$trên khoảng nào thì $y$nghịch biến trên khoảng đó.
• Nếu$y' = 0$tại$x_0$và $y'$ đổi dấu quanh$x_0$thì $x_0$là cực trị (cực đại/cực tiểu).
• Đạo hàm các dạng hàm thông dụng:
  -$(x^n)' = nx^{n-1}$
  -$(u+v)' = u' + v'$
  -$(uv)' = u'v + uv'$
  -$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

6. Các biến thể của bài toán & điều chỉnh chiến lược

• Hàm có điều kiện xác định riêng: Ngoài nghiệm$y'=0$cần kết hợp điều kiện xác định (ví dụ với hàm căn, hàm phân thức).
• Hàm chứa tham số: Cần biện luận dấu của đạo hàm theo tham số $m$(Ví dụ:$f'(x,m)$)
• Hàm phân thức đại số: Khi$y'$là phân thức, cần xác định kỹ các điểm$y'$không xác định và xét thêm các điểm loại trừ khỏi tập xác định.
• Bài toán đảo: Biết điều kiện về đơn điệu, tìm giá trị tham số để hàm đồng biến/nghịch biến.

7. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập: Xét tính đơn điệu của hàm số $y = \frac{x-1}{x+2}$.

Giải chi tiết:

1. Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{-2\}$
2. Đạo hàm:
   $y' = \frac{(1)(x+2) - (x-1)(1)}{(x+2)^2} = \frac{x+2 - x + 1}{(x+2)^2} = \frac{3}{(x+2)^2}$
3. Vì $(x+2)^2 > 0$với mọi$x \ne -2$, nên$y' > 0$với$x \ne -2$.
4. Kết luận:
   - Hàm đồng biến trên mỗi khoảng xác định$(-\infty,-2)$và $(-2,+\infty)$.

8. Bài tập luyện tập

Hãy luyện tập với các bài sau (giải chi tiết theo các bước ở trên):

• 1. Xét tính đơn điệu của hàm số $y = x^4 - 4x^2 + 5$.
• 2. Xét tính đơn điệu của hàm số $y = \sqrt{x^2 + 1}$.
• 3. Xét tính đồng biến, nghịch biến của$y = \frac{2x + 1}{x - 3}$.
• 4. Cho hàm số $y = (m-1)x^2 + 2mx + 3$($m$tham số). Tìm$m$ để hàm đồng biến trên$\mathbb{R}$.

9. Mẹo nhanh và lưu ý tránh sai lầm

• Xác định đúng tập xác định trước khi làm các bước còn lại.
• Cẩn thận với dấu mẫu thức khi hàm và đạo hàm là phân thức.
• Đừng quên xét các điểm$y'$không xác định: đó có thể là tiệm cận (loại khỏi kết luận đồng biến/nghịch biến).
• Với hàm bậc nhất$y' = ax + b$: Đạo hàm chỉ đổi dấu một lần tại$x = -\frac{b}{a}$.
• Vẽ bảng biến thiên khoa học, rõ dấu, tránh sai khi xét dấu đạo hàm.