Chiến Lược Và Cách Giải Bài Toán Tìm Tọa Độ Điểm Khi Biết Hình Học Lớp 12

1. Giới thiệu về loại bài toán này và tầm quan trọng

Bài toán "Tìm tọa độ điểm khi biết hình học" là một dạng bài tập quen thuộc và quan trọng trong chương trình Toán lớp 12, nhất là ở chủ đề Hình học không gian và Vecto. Các bài toán này không chỉ xuất hiện trong đề kiểm tra trên lớp mà còn thường gặp ở đề thi THPT Quốc gia. Việc nắm vững cách giải bài toán tìm tọa độ điểm giúp học sinh dễ dàng xử lý các bài toán phối hợp giữa hình học và đại số, đồng thời tăng khả năng hình dung và lập luận hình học.

2. Đặc điểm của bài toán tìm tọa độ điểm khi biết hình học

Loại bài toán này có đặc trưng là cho dữ kiện hình học về vị trí (dựng hình, khoảng cách, nằm trên đường thẳng/mặt phẳng, điều kiện vuông góc, trung điểm, chia tỉ lệ, v.v...) liên quan đến các điểm trong hệ trục tọa độ không gian$Oxyz$(hoặc phẳng$Oxy$). Yêu cầu thường gặp là xác định tọa độ của một điểm thỏa mãn một hoặc nhiều tính chất hình học nào đó.

3. Chiến lược tổng thể để giải bài toán

Để giải quyết các bài toán này hiệu quả, học sinh nên tuân thủ quy trình tổng thể như sau:

Bước 1: Phân tích đề, dựng hình và biểu diễn các điểm bằng tọa độ (giả sử điểm cần tìm có tọa độ biến$M(x; y; z)$nếu chưa biết).

Bước 2: Liệt kê các điều kiện hình học mà đề bài cho và chuyển về hệ phương trình (bằng cách sử dụng các công thức về vecto, khoảng cách, phương trình đường thẳng, mặt phẳng...).

Bước 3: Giải hệ phương trình thu được để xác định tọa độ điểm cần tìm.

Bước 4: Kiểm tra lại kết quả với các giả thiết bài toán.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Chúng ta sẽ đi qua từng bước bằng một ví dụ cụ thể để minh họa cách giải bài toán tìm tọa độ điểm khi biết hình học.

Ví dụ 1: Tìm tọa độ trong không gian

Cho hình chóp$OABC$có $O(0;0;0)$,$A(1;2;0)$,$B(0;1;3)$. Tìm tọa độ điểm$C$biết rằng$C$thuộc mặt phẳng$(OAB)$và $OC = 5$,$OC ext{vuông góc với OA}$.

Ta giải bài toán theo từng bước cụ thể:

Bước 1 - Giả sử $C(x; y; z)$thuộc mặt phẳng$(OAB)$. Điểm$C$nằm trên mặt phẳng qua$O, A, B$, nên tọa độ $C$thỏa mãn phương trình mặt phẳng này:

Mặt phẳng$(OAB)$:$\vec{OA} = (1;2;0)$,$\vec{OB} = (0;1;3)$. Có $\vec{n} = \vec{OA} \times \vec{OB} = (1;2;0) \times (0;1;3) = (6; -3; 1)$. Phương trình mặt phẳng:

$6x - 3y + z = 0$

Bước 2 - Áp dụng điều kiện$OC = 5$:

$\vec{OC} = (x; y; z),\quad |\vec{OC}| = 5 \Rightarrow x^2 + y^2 + z^2 = 25$

Bước 3 - Điều kiện$OC$vuông góc với$OA$:$\vec{OC} \cdot \vec{OA} = 0$

$x \cdot 1 + y \cdot 2 + z \cdot 0 = 0 \Rightarrow x + 2y = 0$

Bước 4 - Giải hệ ba phương trình:

Ta giải hệ:

Từ $x + 2y = 0 \Rightarrow x = -2y$

Thay vào$6x - 3y + z = 0$\Leftrightarrow 6(-2y) - 3y + z = 0 \Leftrightarrow -12y - 3y + z = 0 \Leftrightarrow -15y + z = 0 \Rightarrow z = 15y$

Thay$x = -2y$,$z = 15y$vào phương trình$x^2 + y^2 + z^2 = 25$:

$(-2y)^2 + y^2 + (15y)^2 = 25 \Leftrightarrow 4y^2 + y^2 + 225y^2 = 25 \Leftrightarrow 230y^2 = 25 \Rightarrow y^2 = \frac{25}{230}$

Do đó:

$y = \pm \sqrt{\frac{25}{230}} = \pm \frac{5}{\sqrt{230}} \Rightarrow x = -2y, \ z = 15y$

Vậy tọa độ điểm$C$là:

$\left(-2y; y; 15y\right),\quad y = \pm \frac{5}{\sqrt{230}}$

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

Để thành thạo cách giải bài toán tìm tọa độ điểm khi biết hình học, học sinh cần nhớ và vận dụng một số công thức và kỹ thuật cơ bản:

- Công thức tọa độ trung điểm:$M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2}; \frac{z_1 + z_2}{2} \right)$

- Công thức chia đoạn thẳng theo tỉ lệ $k: 1$:$M = \left( \frac{kx_2 + x_1}{k+1}; \frac{ky_2 + y_1}{k+1}; \frac{kz_2 + z_1}{k+1} \right)$

- Độ dài đoạn thẳng $AB$: $|\vec{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

- Điều kiện thẳng hàng:$\vec{AB} = k\vec{AC}$

- Điều kiện vuông góc:$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0$

- Phương trình mặt phẳng:$a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$(với$\vec{n} = (a; b; c)$là VTPT).

- Khoảng cách từ điểm $M(x_0; y_0; z_0)$ đến mặt phẳng:$\frac{|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

6. Các biến thể bài toán và điều chỉnh chiến lược

Một số biến thể thường gặp:

- Tìm tọa độ điểm trên mặt phẳng/đường thẳng biết điều kiện hình học (ví dụ: điểm chia đoạn, điểm thuộc trung trực, điểm thuộc mặt cầu, v.v...)

- Tìm tọa độ giao điểm giữa các đường/thẳng hoặc mặt phẳng (giải hệ phương trình tương ứng)

- Tìm tọa độ điểm đối xứng/quay/bài toán cực trị hình học (dùng công thức đối xứng, quỹ tích, tối thiểu/tối đa hoá).

Tùy tình huống, bạn nên linh hoạt giả sử tọa độ điểm cần tìm ở dạng tham số, dùng hệ phương trình sao cho số điều kiện phù hợp số ẩn.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập: Trong không gian với hệ trục$Oxyz$, cho$A(1;2;3)$,$B(4;0;1)$và mặt phẳng$(P): 2x - y + 2z - 5 = 0$. Hãy tìm tọa độ điểm$M$nằm trên đoạn thẳng$AB$sao cho$M$cũng thuộc mặt phẳng$(P)$.

Lời giải chi tiết:

Gọi$M$chia$AB$theo tỉ lệ $k: 1 \Longrightarrow M(x; y; z) = \left( \frac{4k + 1}{k + 1}; \frac{0k + 2}{k + 1}; \frac{1k + 3}{k + 1} \right)$.

Do$M$thuộc mặt phẳng$(P)$nên:$2x - y + 2z - 5 = 0 \; (1)$

Thay$x, y, z$vào (1):

$2 \left( \frac{4k + 1}{k+1} \right) - \frac{2}{k+1} + 2 \left( \frac{k + 3}{k+1} \right) - 5 = 0$

Khai triển:$\frac{8k+2-2+2k+6-5(k+1)}{k+1} = 0$

$8k + 2 - 2 + 2k + 6 - 5k -5 = 0$

$8k + 2k - 5k + 2 + 6 - 2 - 5 = 0 \Leftrightarrow 5k + 1 = 0 \Leftrightarrow k = -\frac{1}{5}$

Vậy tọa độ $M$là:

$M\left(\frac{4 \times ( - \frac{1}{5}) + 1}{- \frac{1}{5} + 1}; \frac{0 \times ( - \frac{1}{5}) + 2}{- \frac{1}{5} + 1}; \frac{( - \frac{1}{5}) + 3}{- \frac{1}{5} + 1} \right) \Rightarrow M\left(\frac{- \frac{4}{5} + 1}{\frac{4}{5}}, \frac{2}{\frac{4}{5}}, \frac{- \frac{1}{5} + 3}{\frac{4}{5}}\right)$

Tính toán lại:

$M\left( \frac{1 - 0.8}{0.8}; \frac{2}{0.8}; \frac{3 - 0.2}{0.8} \right) = M(0.25; 2.5; 3.5)$

Vậy toạ độ điểm$M$là $(0.25; 2.5; 3.5)$.

8. Bài tập thực hành cho học sinh

- Bài 1: Trong không gian$Oxyz$, cho$A(1;1;2), B(-2;0;3)$. Tìm toạ độ điểm$M$trên đoạn$AB$sao cho$AM = 2MB$.

- Bài 2: Cho$A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1)$. Tìm toạ độ $G$là trọng tâm tam giác$ABC$.

- Bài 3: Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng đi qua$A(1;2;1)$và $B(2;1;3)$với mặt phẳng$x + y + z - 6 = 0$.

- Bài 4: Cho $A(2;0;-1)$, đường thẳng $d$ đi qua điểm$B(1;1;1)$và có vecto chỉ phương$\vec{u} = (1;2;-1)$. Tìm toạ độ điểm trên $d$cách$A$một khoảng$2\sqrt{2}$.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

- Khi giả sử tọa độ điểm cần tìm, luôn cố gắng sử dụng dạng tham số tối ưu để giảm bớt ẩn.
- Viết rõ ràng các điều kiện hình học ra hệ phương trình, tránh bỏ sót dữ kiện đề bài.
- Luôn kiểm tra lại nghiệm với các điều kiện bài toán.
- Chú ý dấu của vecto (đặc biệt khi tìm điểm chia đoạn).
- Khi giải hệ phương trình nên để ý giải thích ý nghĩa thực tế, tránh trường hợp nghiệm không phù hợp tính chất hình học.

Tổng kết

Trên đây là hướng dẫn chi tiết cách giải bài toán tìm tọa độ điểm khi biết các điều kiện hình học dành cho học sinh lớp 12. Hy vọng qua bài viết này bạn sẽ tự tin hơn khi đối mặt với các bài tập dạng này, đồng thời hiểu sâu các công cụ phối hợp giữa hình học và vecto. Để thành thạo dạng bài này, hãy luyện tập thật nhiều các bài tập thực hành và luôn làm kỹ từng bước theo quy trình ở trên.