1. Giới thiệu về loại bài toán này và tại sao nó quan trọng

Trong chương trình Toán 12, mặt cầu là một trong những hình học không gian cơ bản, thường xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia và các kỳ thi tuyển sinh Đại học. Bài toán "Viết phương trình mặt cầu từ tâm và bán kính" là dạng bài cơ bản nhưng quan trọng, vì nắm vững dạng này giúp học sinh xây dựng nền tảng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn như giao điểm mặt cầu với mặt phẳng, tiếp tuyến, hoặc tìm đường sinh.

Việc thành thạo "cách giải bài toán viết phương trình mặt cầu từ tâm và bán kính" không chỉ giúp học sinh tự tin trong các kỳ thi mà còn rèn luyện tư duy hình học không gian và kỹ năng vận dụng công thức. Trong bài viết này, chúng ta sẽ phân tích đặc điểm, xây dựng chiến lược tổng thể, hướng dẫn chi tiết từng bước, đồng thời cung cấp ví dụ minh họa, bài tập mẫu và mẹo hữu ích để tránh sai lầm phổ biến.

2. Phân tích đặc điểm của loại bài toán này

Bài toán thường cho trước:

Đặc điểm chính:

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Để giải quyết nhanh gọn và chính xác "cách giải bài toán viết phương trình mặt cầu từ tâm và bán kính", chúng ta nên:

Mục tiêu của chiến lược này là giúp học sinh hình thành một quy trình giải bài bản, tránh lúng túng khi gặp các biến thể khác nhau.

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Bước 1: Đọc hiểu và phân tích đề bài

Ví dụ: "Cho tâm$I(1,2,3)$và bán kính$r=5$. Viết phương trình mặt cầu." Học sinh cần nhận ra ngay dữ kiện tâm và bán kính.

Bước 2: Áp dụng công thức chuẩn

Áp dụng công thức chuẩn:

$(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 = 5^2 = 25.$

Bước 3: Kiểm tra và rút gọn (nếu cần)

Trong ví dụ này, phương trình đã ở dạng chuẩn, không cần rút gọn thêm. Nếu đề yêu cầu dạng tổng quát, ta triển khai:

$(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2-25=0 \implies x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z-15=0.$

Bước 4: Trình bày kết quả

Học sinh ghi rõ:

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

Biến thể 1: Cho hai điểm$A,B$là hai đầu đường kính. Cách làm:

Biến thể 2: Cho phương trình tổng quát, yêu cầu xác định tâm và bán kính. Cách làm:

Biến thể 3: Cho mặt cầu tiếp xúc một mặt phẳng hoặc một mặt cầu khác, thường yêu cầu xác định$r$. Cần kết hợp công thức khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng/mặt cầu.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết theo từng bước

Bài tập: Cho hai điểm$A(1,1,2)$và $B(5,3,6)$là hai đầu đường kính của mặt cầu$(S)$. Viết phương trình mặt cầu$(S)$.

Lời giải:

• Bước 1: Tính trung điểm$I$của$AB$:

$I\Bigl(\frac{1+5}{2},\frac{1+3}{2},\frac{2+6}{2}\Bigr) = I(3,2,4).$

• Bước 2: Tính độ dài$AB$:

$AB=\sqrt{(5-1)^2+(3-1)^2+(6-2)^2} = \sqrt{16+4+16}=\sqrt{36}=6.$

$(x-3)^2+(y-2)^2+(z-4)^2=3^2=9.$

• Nếu cần dạng tổng quát, khai triển thành:

$x^2+y^2+z^2-6x-4y-8z+9=0.$

8. Bài tập thực hành để học sinh tự làm

Đề nghị học sinh làm các bài sau để rèn luyện kỹ năng:

9. Các mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

Hy vọng với chiến lược và các ví dụ trên, học sinh sẽ tự tin vận dụng thành thạo "cách giải bài toán viết phương trình mặt cầu từ tâm và bán kính" trong các bài kiểm tra và kỳ thi quan trọng.