Chiến lược giải bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số bằng máy tính cầm tay

1. Giới thiệu về bài toán và tầm quan trọng

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất (GTLN-GTNN) của hàm số là dạng bài toán rất quan trọng, xuất hiện thường xuyên trong các đề thi THPT Quốc gia môn Toán. Dạng này không chỉ kiểm tra khả năng vận dụng kiến thức về đạo hàm mà còn yêu cầu học sinh biết khai thác công cụ hỗ trợ như máy tính cầm tay để giải quyết nhanh chóng, đặc biệt khi bài toán có yêu cầu tính kết quả chính xác trong các khoảng giá trị xác định.

2. Phân tích đặc điểm loại bài toán

Các dạng bài tìm GTLN-GTNN thường gặp trong chương trình lớp 12 gồm:
- Hàm số liên tục, xác định trên một khoảng hoặc đoạn cụ thể.
- Hàm đa thức, hữu tỉ hoặc hàm chứa căn thức (phức tạp).

• Hàm số yêu cầu tìm GTLN-GTNN trên một đoạn$[a, b]$.
• Hàm số yêu cầu tìm GTLN-GTNN trên một khoảng hoặc trong tập xác định phức tạp.
• Bài toán tích hợp với đồ thị hoặc ứng dụng mô hình thực tế.

Đặc điểm nổi bật là đề bài thường cho sẵn khoảng/đoạn, câu trả lời phải chính xác tuyệt đối. Áp lực thời gian thi khiến việc sử dụng máy tính trở thành lợi thế lớn.

3. Chiến lược tổng thể giải bài toán này

Chiến lược giải dạng này gồm hai hướng tiếp cận:

• Dùng kiến thức đạo hàm: Tính cực trị, đối chiếu giá trị tại các điểm đặc biệt (biên, cực trị, điểm loại).
• Dùng máy tính cầm tay: Xây dựng bảng giá trị, tận dụng chức năng TABLE (hoặc CALC, SOLVE) để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất với hiệu quả và độ chính xác cao.

Học sinh nên kết hợp hai phương pháp: xác định khoảng cần kiểm tra bằng lý thuyết, kiểm nghiệm nhanh các giá trị bằng máy tính để đảm bảo không bỏ sót hoặc mắc lỗi tính toán.

4. Các bước giải quyết chi tiết – Ví dụ minh họa

Cùng xét ví dụ cụ thể sau:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = x^3 - 3x + 2$trên đoạn$[0;2]$bằng máy tính cầm tay.

Bước 1: Tìm các điểm cần xét

- Các điểm cần xét là hai đầu đoạn$x=0$,$x=2$và các điểm cực trị của hàm trên đoạn, tức là nghiệm của$f'(x)=0$.

Tính$f'(x) = 3x^2 - 3$. Giải$3x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1 ext{hoặc} x = -1$.

- Trong đoạn$[0;2]$, chỉ $x=1$nằm trong đoạn.

Bước 2: Tính giá trị hàm số tại các điểm ấy bằng máy tính cầm tay

• Tính$f(0) = 0^3 - 3.0 + 2 = 2$
• Tính$f(1) = 1^3 - 3.1 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$
• Tính$f(2) = 8 - 6 + 2 = 4$

Bước 3: So sánh để tìm GTLN và GTNN

- Trong các giá trị đã tính,$f(0)=2$,$f(1)=0$,$f(2)=4$.
- Giá trị lớn nhất là $4$tại$x=2$; giá trị nhỏ nhất là $0$tại$x=1$.

Bước 4: Sử dụng máy tính cầm tay với chức năng TABLE/CALC để kiểm tra

1. Bấm MODE 7 (TABLE), nhập hàm số $f(x)$: X^3 - 3X + 2
2. Nhập Start = 0, End = 2, Step = 1 (hoặc 0.1 để xem kỹ biến thiên)
3. Quan sát bảng giá trị để xác nhận GTLN, GTNN và kiểm tra không bỏ sót điểm đặc biệt

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

- Với hàm liên tục trên đoạn$[a, b]$, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất đều đạt tại biên hoặc trong tập nghiệm phương trình$f'(x) = 0$trên đoạn đó.
- Kỹ thuật máy tính: nhập chính xác hàm$f(x)$, chọn step nhỏ để tránh bỏ sót cực trị.
- Có thể dùng chức năng CALC trên Casio fx-570 để thử trực tiếp giá trị.

6. Các biến thể bài toán và điều chỉnh chiến lược

• Hàm nhiều cực trị: tăng step nhỏ hơn trong TABLE.
• Hàm phức tạp/căn/hữu tỉ: ưu tiên phương pháp lý thuyết để xác định miền xác định, kiểm tra kỹ điểm loại.
• Bài yêu cầu tìm GTLN-GTNN trên tập xác định khác đoạn (ví dụ: bất phương trình gắn với hàm, thêm điều kiện): xác định miền trước, rồi giải trên từng khoảng con.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm$f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x + 1$trên$[0;2]$.

Giải:

Bước 1:$f'(x) = 6x^2 - 6x + 1$, giải$f'(x) = 0$bằng chức năng SOLVE. Cho$x =$SOLVE$[6x^2 - 6x + 1 = 0]$ra$x_1 \approx 0.183, x_2 \approx 0.817$(dùng máy tính fx-570 nhập 6, -6, 1 vào mode EQN bậc 2).

Các điểm cần kiểm tra:$x=0; x=2; x_1 \approx 0.183; x_2 \approx 0.817$(đều nằm trong$[0;2]$).

• Tính$f(0) = 1$
• Tính$f(2) = 16 - 12 + 2 + 1 = 7$
• Tính$f(0.183) \approx 2<em>(0.183)^3 -3</em>(0.183)^2 + 0.183 + 1 \approx...$
• Tính$f(0.817) \approx 2<em>(0.817)^3 -3</em>(0.817)^2 + 0.817 + 1 \approx...$

So sánh giá trị đã tìm bằng máy tính, xác định GTLN và GTNN. (Học sinh tự bấm để luyện tập thao tác!)

8. Bài tập thực hành tự luyện

1. Tìm GTLN và GTNN của$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$trên đoạn$[1;3]$.
2. Tìm GTLN và GTNN của$f(x) = \frac{x+1}{x^2+1}$trên đoạn$[0;2]$.
3. Tìm GTLN và GTNN của $f(x) = \sqrt{4 - x^2}$trên đoạn$[-2;2]$.

9. Mẹo hay và lưu ý tránh sai sót

• Chú ý nhập đủ dấu ngoặc, kiểm tra lại hàm số khi nhập vào máy tính.
• Table step càng nhỏ càng chính xác, nhất là với hàm chứa dấu mũ hoặc căn.
• Không bao giờ bỏ sót các điểm biên hoặc điểm cực trị nằm trên đoạn!
• Nếu hàm bị gián đoạn, loại khỏi miền cần xét các điểm đó.
• Ghi nhanh giá trị ra nháp để so sánh GIÁ TRIỆU TỆC biệt KHÔNG DỰA HOÀN TOÀN VÀO BẢNG GIÁ TRỊ VÌ CÓ THỂ BỎ SÓT CỰC TRỊ nhỏ.