1. Giới thiệu về bài toán “Tính giá trị gần đúng tích phân bằng máy tính cầm tay”

Trong chương trình Giải tích lớp 12, việc tính giá trị gần đúng của tích phân xuất hiện rất nhiều trong các bài tập tự luận và trắc nghiệm. Tuy nhiên, thay vì giải tích phân chính xác, đề bài thường yêu cầu học sinh chỉ cần tìm giá trị gần đúng với độ chính xác đến một số chữ số thập phân, thường sử dụng máy tính cầm tay. Kỹ năng này rất quan trọng: giúp làm bài nhanh, tránh những sai sót biến đổi phức tạp, và phù hợp cho các bài thi dưới sức ép thời gian như thi tốt nghiệp THPT.

2. Phân tích đặc điểm của dạng bài toán này

Dạng bài toán này thường có các đặc điểm như:

• Tích phân cần tính là tích phân xác định có cận rõ ràng:$\int_a^b f(x)dx$.
• Hàm số $f(x)$khá phức tạp, không thể tính nguyên hàm dễ dàng hoặc đề bài yêu cầu dùng máy tính.
• Yêu cầu tính gần đúng giá trị của tích phân với độ chính xác thường đến 2 hoặc 3 chữ số thập phân.
• Dùng chức năng TABLE hoặc tích phân trên máy tính cầm tay (CASIO FX-570VN Plus hoặc tương đương) để giải.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Có hai phương pháp giải chính:

1. Dùng chức năng tích phân trực tiếp của máy tính cầm tay (nếu máy có hỗ trợ, như CASIO FX-570VN Plus, FX-580VN X v.v).
2. Dùng phương pháp cộng hình thang, simpson, hoặc số học (chia đoạn, tính giá trị tại các điểm, nhập vào máy tính bàn TABLE rồi nhân với độ rộng các đoạn).

Tùy yêu cầu đề bài, bạn nên chọn phương pháp phù hợp nhất để giải nhanh và chính xác.

4. Các bước giải bài toán cụ thể (có ví dụ minh họa)

Sau đây là hai cách giải phổ biến, kèm ví dụ minh họa cụ thể:

Cách 1: Dùng chức năng tính tích phân trực tiếp trên máy tính cầm tay

Ví dụ 1: Tính giá trị gần đúng của tích phân sau, làm tròn đến 3 chữ số thập phân:

$I = \int_1^2 \frac{1}{x^2 + 1} dx$

• B1: Bật máy tính, nhập chế độ tính toán (MODE 1)
• B2: Nhấn phím$\int$(SHIFT +$\int$) – chức năng tích phân.
• B3: Nhập hàm số $\frac{1}{x^2 + 1}$; nhập cận dưới$1$và cận trên$2$tìm thấy trên màn hình máy tính.
• B4: Bấm =, nhận được kết quả $I \approx 0.322$(tùy máy có thể cho ra nhiều chữ số hơn, hãy làm tròn theo yêu cầu đề).

Cách 2: Dùng phương pháp cộng hình thang (trong trường hợp không có chức năng tích phân trên máy)

Công thức hình thang:

$I \approx \frac{b-a}{2n}\left[f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) +... + 2f(x_{n-1}) + f(x_n)\right]$

Ví dụ 2: Tính giá trị gần đúng$I = \int_0^1 e^{-x^2} dx$với$n=4$bằng phương pháp hình thang.

• B1: Xác định$n = 4$, khoảng chia$h = \frac{1-0}{4} = 0.25$.
• B2: Lập bảng giá trị $x$và $f(x)$:
  
  $x_0 = 0; f(x_0) = e^{-0^2} = 1$
  $x_1 = 0.25; f(x_1) \approx 0.939$
  $x_2 = 0.5; f(x_2) \approx 0.779$
  $x_3 = 0.75; f(x_3) \approx 0.569$
  $x_4 = 1; f(x_4) \approx 0.368$
• B3: Tính tổng:
  $S = f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4) = 1 + 2 \times 0.939 + 2 \times 0.779 + 2 \times 0.569 + 0.368 = 1 + 1.878 + 1.558 + 1.138 + 0.368 = 5.942$
• B4: Áp dụng công thức:
  $I \approx \frac{0.25}{2} \times 5.942 = 0.125 \times 5.942 \approx 0.743$

Như vậy,$I \approx 0.743$.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Công thức hình thang:
• $\int_{a}^{b} f(x)dx \approx \frac{b-a}{2n}[f(x_0) + 2f(x_1) +... + 2f(x_{n-1}) + f(x_n)]$
• Công thức Simpson (mở rộng):
  $I \approx \frac{b-a}{6n}\left[f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) +... + 2f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_n)\right]$
• Nếu máy tính có phím$\int$, hãy sử dụng tối đa sức mạnh của máy để tiết kiệm thời gian.

6. Các biến thể bài toán và điều chỉnh chiến lược

Đề bài có thể yêu cầu tính tích phân cho những hàm khó (logarit, lũy thừa, lượng giác, e, trị tuyệt đối, hàm phi tuyến,…), hoặc cho bảng giá trị $x, f(x)$. Học sinh tùy tình huống chọn chiến lược hợp lý:

• Nếu máy tính không có chức năng tích phân: dùng bảng giá trị, phương pháp cộng hình thang hoặc Simpson.
• Nếu có giá trị $x, f(x)$sẵn: chỉ cần áp dụng đúng công thức (đặc biệt chú ý bố trí hệ số 1, 2, 4 đúng vị trí nếu dùng Simpson).
• Nếu yêu cầu giữ nguyên giá trị máy tính vừa tính được: không làm tròn giữa các bước, chỉ làm tròn sau khi ra đáp số cuối cùng.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập mẫu 1: (Dùng máy tính cầm tay)

Tính giá trị gần đúng của tích phân$I = \int_0^1 (x^3 + 2)dx$.

Giải:

- Bước 1: Bật máy tính và chọn chức năng tích phân.
- Bước 2: Nhập hàm$(x^3 + 2)$với cận dưới 0 và cận trên 1.
- Bước 3: Nhấn “=” và thu được kết quả $I = 2.25$.
- Đáp số:$I = 2.25$

Bài tập mẫu 2: (Dùng phương pháp hình thang)

Cho biết$I = \int_1^2 e^{2x} dx$, hãy ước lượng$I$với$n=2$.

Giải:

-$n=2 \Rightarrow h = (2-1)/2 = 0.5$
- Xác định các giá trị:
$x_0 = 1; f(x_0) = e^{2 \times 1} = e^2 \approx 7.389$
$x_1 = 1.5; f(x_1) = e^{2 \times 1.5} = e^3 \approx 20.086$
$x_2 = 2; f(x_2) = e^{2 \times 2} = e^4 \approx 54.598$

Áp dụng công thức hình thang:
$I \approx \frac{0.5}{2}(7.389 + 2 \times 20.086 + 54.598) = 0.25 \times (7.389 + 40.172 + 54.598) = 0.25 \times 102.159 = 25.54$

Đáp số gần đúng:$I \approx 25.54$

8. Bài tập thực hành

Học sinh hãy giải các bài sau, sử dụng cả hai phương pháp nêu trên (dùng máy tính và phương pháp hình thang) nếu có thể:

• - Tính gần đúng $\int_1^3 \sqrt{x}dx$ (làm tròn 3 chữ số thập phân).
• - Tính gần đúng $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx$(với$n=4$, làm tròn 3 chữ số thập phân).
• - Tính gần đúng$\int_2^4 \ln x dx$, sử dụng máy tính bảng hoặc phương pháp hình thang ($n=2$).

Đáp án (tham khảo):
- $\int_1^3 \sqrt{x}dx \approx 3.464$-$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin xdx \approx 1$-$\int_2^4 \ln xdx \approx 4.426$

9. Mẹo & lưu ý tránh sai lầm thường gặp

• Cẩn thận nhập đúng hàm số. Lỗi nhập sai hàm rất phổ biến do thiếu dấu ngoặc hoặc nhầm biến.
• Nhớ chuyển đổi đơn vị góc (RAD/DEG) đúng với hàm lượng giác.
• Chỉ làm tròn kết quả cuối cùng (sau khi tính toán xong tất cả các bước).
• Ghi chú rõ cách bấm máy để giáo viên dễ kiểm tra.
• Nếu không chắc chắn về chức năng máy, dùng phương pháp cộng hình thang truyền thống.

Chúc các bạn học tốt và áp dụng thành công chiến lược giải bài toán tính giá trị gần đúng tích phân bằng máy tính cầm tay!