1. Giới thiệu về loại bài toán này và tại sao nó quan trọng

Bài toán biểu diễn vectơ bằng ba vectơ đơn vị $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$là một nội dung cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán 12, đặc biệt trong phần Hình học không gian và Ứng dụng véc-tơ. Việc nắm vững cách chuyển từ tọa độ của một vectơ sang biểu diễn theo hệ cơ sở $\{\vec{i},\vec{j},\vec{k}\}$giúp học sinh dễ dàng tính toán, phân tích hình học không gian và ứng dụng vào các bài toán về mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu cũng như bài toán thực tiễn. Đồng thời, kĩ năng này cũng là tiền đề để giải quyết các bài toán phức tạp hơn như tích vô hướng, tích có hướng và giải tích vectơ.

2. Phân tích đặc điểm của loại bài toán này

Trước khi bắt tay vào giải, ta cần nhận diện đặc điểm chung của các đề bài biểu diễn vectơ:

• Đề bài thường cho tọa độ của các điểm hoặc biểu thức tọa độ theo các hệ trục đã cho sẵn.

• Yêu cầu chính là tìm thành phần trong hướng$\vec{i},\vec{j},\vec{k}$của một vectơ bất kỳ, thường là $\overrightarrow{AB}$hoặc vectơ tổng, hiệu của các vectơ đã biết.

• Cần chuyển đổi phép trừ tọa độ, phép cộng vectơ và kết hợp các hệ tọa độ khác nhau (nếu có).

• Kết quả cuối cùng thường là một biểu thức dạng$x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Để giải hiệu quả các bài toán biểu diễn vectơ bằng ba vectơ đơn vị, học sinh nên tuân theo chiến lược tổng quát sau:

• Bước 1: Đọc kỹ đề, xác định rõ điểm gốc$A$, điểm đích$B$hay các vectơ đã cho.

• Bước 2: Ghi lại tọa độ của các điểm hoặc biểu thức tọa độ đã cho.

• Bước 3: Sử dụng công thức tính vectơ $\overrightarrow{AB}$theo tọa độ:

$\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A)\,\vec{i}+(y_B-y_A)\,\vec{j}+(z_B-z_A)\,\vec{k}$

• Bước 4: Thực hiện phép tính cộng, trừ vectơ nếu đề yêu cầu tổng, hiệu.

• Bước 5: Kiểm tra lại kết quả, đảm bảo không nhầm lẫn dấu cộng trừ và thứ tự thành phần.

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Bước 1: Xác định tọa độ của véc-tơ cần biểu diễn

Giả sử đề bài cho hai điểm$A(x_A,y_A,z_A)$và $B(x_B,y_B,z_B)$. Vectơ cần tìm là $\overrightarrow{AB}$.

Bước 2: Áp dụng công thức tọa độ

Sử dụng công thức xác định thành phần vector theo các trục:

$\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A)\,\vec{i}+(y_B-y_A)\,\vec{j}+(z_B-z_A)\,\vec{k}$

Bước 3: Tính toán và viết kết quả

Thực hiện phép trừ từng thành phần và ghép lại dưới dạng tổ hợp tuyến tính với$\vec{i},\vec{j},\vec{k}$.

Ví dụ minh họa: Cho$A(2,3,5)$và $B(-1,4,2)$. Tìm$\overrightarrow{AB}$.

- Tọa độ thành phần:$x_B-x_A=-1-2=-3$,$y_B-y_A=4-3=1$,$z_B-z_A=2-5=-3$.

- Do đó:

$\overrightarrow{AB}=-3\,\vec{i}+1\,\vec{j}-3\,\vec{k}$

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Công thức tính$\overrightarrow{AB}$theo tọa độ:

$\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A)\,\vec{i}+(y_B-y_A)\,\vec{j}+(z_B-z_A)\,\vec{k}$

• Phép cộng vectơ:

Nếu$\vec{u}=a_1\vec{i}+b_1\vec{j}+c_1\vec{k}$và $\vec{v}=a_2\vec{i}+b_2\vec{j}+c_2\vec{k}$thì:

$\vec{u}+\vec{v}=(a_1+a_2)\,\vec{i}+(b_1+b_2)\,\vec{j}+(c_1+c_2)\,\vec{k}$

• Phép trừ vectơ:

$\vec{u}-\vec{v}=(a_1-a_2)\,\vec{i}+(b_1-b_2)\,\vec{j}+(c_1-c_2)\,\vec{k}$

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

• Đề bài cho vectơ theo hệ tọa độ khác: Trước tiên phải quy về hệ cơ sở $\{\vec{i},\vec{j},\vec{k}\}$rồi áp dụng công thức.

• Tính vectơ tổng hoặc hiệu nhiều vectơ: Áp dụng phép cộng, trừ lần lượt theo thành phần.

• Bài toán kết hợp với tính độ dài vectơ: Sau khi có biểu diễn, tính độ dài bằng công thức $|\vec{v}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

• Bài toán trong không gian 2D (chỉ $\vec{i},\vec{j}$): Tương tự nhưng loại bỏ thành phần$\vec{k}$.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập: Cho$P(1,-2,3)$,$Q(4,0,1)$và $R(-1,5,2)$. Tìm vectơ $\overrightarrow{PQ}+2\,\overrightarrow{QR}$biểu diễn theo$\vec{i},\vec{j},\vec{k}$.

Lời giải:

- Tính$\overrightarrow{PQ}=(4-1)\,\vec{i}+(0+2)\,\vec{j}+(1-3)\,\vec{k}=3\,\vec{i}+2\,\vec{j}-2\,\vec{k}$.

- Tính$\overrightarrow{QR}=(-1-4)\,\vec{i}+(5-0)\,\vec{j}+(2-1)\,\vec{k}=-5\,\vec{i}+5\,\vec{j}+1\,\vec{k}$.

- Vậy:

$\overrightarrow{PQ}+2\,\overrightarrow{QR}=(3-10)\,\vec{i}+(2+10)\,\vec{j}+(-2+2)\,\vec{k}=-7\,\vec{i}+12\,\vec{j}+0\,\vec{k}$

8. Bài tập thực hành để học sinh tự làm

1. Cho$A(0,1,2)$và $B(3,2,5)$. Tìm$\overrightarrow{AB}$.

2. Cho vectơ $\vec{u}=2\,\vec{i}-3\,\vec{j}+\vec{k}$và $\vec{v}=\vec{i}+4\,\vec{j}-2\,\vec{k}$. Tính$\vec{u}-\vec{v}$.

3. Cho tam giác$ABC$với$A(1,0,0)$,$B(0,2,1)$,$C(2,-1,3)$. Tính$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}$.

4. Cho điểm$M(2,3,4)$,$N(-2,1,0)$. Tìm độ dài vectơ $\overrightarrow{MN}$.

5. Cho vectơ $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$và $\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$. Viết biểu thức tổng quát của$\vec{a}-3\,\vec{b}$.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Luôn chú ý dấu trừ khi tính$x_B-x_A$,$y_B-y_A$,$z_B-z_A$.

• Viết cột tọa độ ra trước khi cộng/trừ để tránh nhầm lẫn.

• Kiểm tra lại từng thành phần ngay sau phép tính để đảm bảo không bỏ sót.

• Khi làm bài thi, nên ghi rõ công thức và kết quả trung gian để giám khảo dễ theo dõi.

• Thực hành nhiều dạng bài để nâng cao tốc độ và độ chính xác.