Chiến lược giải bài toán biểu thức tọa độ của tích vô hướng

1. Giới thiệu về loại bài toán và tại sao nó quan trọng

Bài toán biểu thức tọa độ của tích vô hướng là một trong những dạng cơ bản nhưng rất quan trọng trong chương trình Toán 12. Việc thành thạo cách chuyển từ định nghĩa hình học của tích vô hướng sang biểu thức tọa độ giúp học sinh giải quyết nhanh chóng các bài toán liên quan đến góc, độ dài hình chiếu và các ứng dụng trong hình học không gian. Đồng thời, kỹ năng này là nền tảng cho các bài toán phức tạp hơn trong Luyện thi THPT Quốc gia và Đại học.

2. Phân tích đặc điểm của loại bài toán

Phân tích đặc điểm của dạng bài này giúp ta nhận biết các bước cần thực hiện trước khi giải:

- Thường cho trước tọa độ các vectơ trong không gian 2D hoặc 3D.
- Yêu cầu tìm biểu thức$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$hoặc sử dụng kết quả tích vô hướng để tính góc, độ dài hình chiếu.
- Có thể xuất hiện bài toán tìm tham số để hai vectơ vuông góc hoặc hợp thành góc cho trước.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Một chiến lược chung gồm các bước sau đây:

1. Xác định tọa độ các vectơ từ đề bài.
2. Viết công thức tích vô hướng phù hợp với không gian (2D hoặc 3D).
3. Thực hiện phép nhân các thành phần tương ứng và cộng lại.
4. Sử dụng kết quả để giải bài toán tiếp theo (tính góc, hình chiếu, xác định tham số…).
5. Kiểm tra lại đơn vị và dấu.

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ 2D: Cho$\mathbf{u}=(2,3)$và $\mathbf{v}=(5,-1)$. Tính$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$và góc giữa hai vectơ.

Bước 1: Áp dụng công thức trong 2D:
$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}=x_1x_2+y_1y_2.$

Bước 2: Thay số:
$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}=2 \times 5+3 \times (-1)=10-3=7.$

Bước 3: Tính độ dài mỗi vectơ:
$|\mathbf{u}|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13},<br />\quad |\mathbf{v}|=\sqrt{5^2+(-1)^2}=\sqrt{26}.$

Bước 4: Góc giữa hai vectơ:
$\cos \theta=\frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|}=\frac{7}{\sqrt{13 \times 26}}=\frac{7}{\sqrt{338}}.$

4.1 Ví dụ trong không gian 3D

Cho$\mathbf{a}=(1,2,3)$và $\mathbf{b}=(4,0,-1)$. Tính$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$.

Áp dụng công thức 3D:
$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2=1 \times 4+2 \times 0+3 \times (-1)=4+0-3=1.$

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

- Trong$\Bbb R^2$:$\mathbf{u}=(x_1,y_1)$,$\mathbf{v}=(x_2,y_2)$thì
$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}=x_1x_2+y_1y_2.$
- Trong$\Bbb R^3$:$\mathbf{u}=(x_1,y_1,z_1)$,$\mathbf{v}=(x_2,y_2,z_2)$thì
$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2.$

- Tính góc:$\cos \theta=\dfrac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|}$.
- Hình chiếu của$\mathbf{u}$lên$\mathbf{v}$:$\mathrm{proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u}=\left(\dfrac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{v}|^2}\right)\mathbf{v}$.

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

Các biến thể phổ biến include:

- Tìm tham số để hai vectơ vuông góc ($\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}=0$).
- Tìm tham số để góc giữa hai vectơ cố định (ví dụ $60^\circ$).
- Tính tổng hoặc hiệu vectơ trước khi lấy tích vô hướng.
- Ứng dụng vào bài toán hình học không gian (tính diện tích hình bình hành, tìm phương trình mặt phẳng…).

6.1 Trường hợp vectơ tham số

Nếu$\mathbf{u}=(t,2t-1)$và $\mathbf{v}=(3,-t)$tìm$t$để$\mathbf{u} \perp \mathbf{v}$.

Giải: $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=t\cdot3+(2t-1)(-t)=0\Rightarrow 3t-2t^2+t=0\Rightarrow -2t^2+4t=0\Rightarrow t( -2t+4)=0\Rightarrow t=0\text{hoặc}t=2.$

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết theo từng bước

Bài tập 1: Cho$\mathbf{u}=(1,\,2,\,2)$và $\mathbf{v}=(-1,\,0,\,3)$. Tính tích vô hướng và góc giữa hai vectơ.

Lời giải:
1. $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}=1 \times (-1)+2 \times 0+2 \times 3=-1+0+6=5$.
2. $|\mathbf{u}|=\sqrt{1+4+4}=3$, $|\mathbf{v}|=\sqrt{1+0+9}=\sqrt{10}$.
3. $\cos \theta=5/(3\sqrt{10})$.

Bài tập 2: Cho$\mathbf{a}=(k,\,1)$và $\mathbf{b}=(2,\,3)$sao cho góc giữa hai vectơ là $90^\circ$. Tìm$k$.

Giải:$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=k \times 2+1 \times 3=0 \Rightarrow 2k+3=0 \Rightarrow k=-\tfrac{3}{2}$.

8. Bài tập thực hành để học sinh tự làm

1. Cho$\mathbf{u}=(3,\,-1)$,$\mathbf{v}=(4,\,2)$. Tính$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$và góc giữa hai vectơ.
2. Cho$\mathbf{p}=(t,\,2)$,$\mathbf{q}=(1,\,-3)$vuông góc. Tìm$t$.
3. Cho$\mathbf{a}=(1,0,2)$,$\mathbf{b}=(0,1,-1)$. Tính hình chiếu của$\mathbf{a}$lên$\mathbf{b}$.
4. Ứng dụng: Tính diện tích hình bình hành tạo bởi$\mathbf{u}=(2,1,0)$và $\mathbf{v}=(1,1,1)$.

9. Các mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

- Luôn kiểm tra thứ tự thành phần:$x_1x_2$chứ không phải$x_2y_1$.
- Khi tính góc, nhớ dấu của kết quả $\cos \theta$có thể âm.
- Với vectơ tham số, giải phương trình chính xác và kiểm tra nghiệm.
- Không quên trường hợp không gian 3D có thêm thành phần$z$.

Việc nắm vững chiến lược giải và thực hành nhiều bài tập sẽ giúp các em tự tin khi đối mặt với mọi dạng bài về biểu thức tọa độ của tích vô hướng.