Chiến lược giải bài toán Công thức xác suất toàn phần lớp 12: Hướng dẫn chi tiết và mẹo thực hành

1. Giới thiệu về bài toán Công thức xác suất toàn phần

Trong chương trình Toán 12, chuyên đề Xác suất là một trong những phần quan trọng và trực tiếp xuất hiện trong các đề thi THPT Quốc gia. Đặc biệt, Công thức xác suất toàn phần thường xuyên được sử dụng để giải những bài toán liên quan đến việc phân chia trường hợp hoặc xảy ra phân loại xác suất nhiều bước liên tiếp. Việc thành thạocách giải bài toán công thức xác suất toàn phầngiúp học sinh xử lý tốt nhiều dạng đề, kể cả những câu hỏi khó yêu cầu suy luận ngược hoặc áp dụng cho tình huống thực tiễn.

2. Phân tích đặc điểm của bài toán Công thức xác suất toàn phần

1. Bài toán thường có sự phân chia không gian mẫu thành các biến cố "phụ" (hiếm khi tất cả các trường hợp đồng khả năng xảy ra).
2. Các biến cố này tạo thành một hệ đầy đủ: tức là một trong các biến cố này phải xảy ra (hoặc phân chia mọi khả năng có thể).
3. Kết quả cần tính không xuất hiện trực tiếp mà phải thông qua các trường hợp (các nhánh hoặc "bước đi").
4. Cần tính xác suất của một biến cố A qua các kịch bản/trường hợp phân chia (theo các biến cố Bi).

Tóm lại, dạng bài này luôn gắn liền với việc phân tích theo các trường hợp/phân nhánh và sử dụng xác suất có điều kiện. Đây cũng là tiền đề để áp dụng Công thức Bayes.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán công thức xác suất toàn phần

Để giải tốt loại bài toán này, các em cần nắm vững các bước sau:

1. Nhận diện đâu là các biến cố tạo thành hệ đầy đủ ("phân trường hợp").
2. Phân tích mối liên hệ giữa biến cố cần tính và các biến cố trong hệ đầy đủ.
3. Dùng công thức xác suất có điều kiện để phân tích xác suất của biến cố cần tính theo từng trường hợp.
4. Tính xác suất từng thành phần nhỏ.
5. Áp dụng công thức xác suất toàn phần để cộng các xác suất lại.

4. Các bước giải bài toán công thức xác suất toàn phần - Có ví dụ minh họa

Sau đây là quy trình giải bài toán kèm ví dụ minh họa từng bước.

Bài toán mẫu:Một hộp 1 có 3 bi đỏ và 2 bi xanh, hộp 2 có 2 bi đỏ và 5 bi xanh. Chọn ngẫu nhiên một hộp rồi lấy ra một bi. Tính xác suất lấy được bi đỏ.

Bước 1: Xác định các biến cố, lập hệ đầy đủ

Gọi$A$là biến cố "lấy được bi đỏ". Lập hệ đầy đủ (dựa theo từng hộp):$B_1$: Chọn hộp 1$B_2$: Chọn hộp 2

Bước 2: Phân tích xác suất các biến cố thành xác suất có điều kiện

Xác suất chọn mỗi hộp là như nhau:$P(B_1) = P(B_2) = \frac{1}{2}$

-$P(A \mid B_1)$: Xác suất lấy được bi đỏ nếu chọn hộp 1:

Trong hộp 1 có 3 bi đỏ/5 bi, nên$P(A \mid B_1) = \frac{3}{5}$

-$P(A \mid B_2)$: Xác suất lấy được bi đỏ nếu chọn hộp 2:

Trong hộp 2 có 2 bi đỏ/7 bi, nên$P(A \mid B_2) = \frac{2}{7}$

Bước 3: Áp dụng công thức xác suất toàn phần

Công thức xác suất toàn phần:

$P(A) = P(B_1) \cdot P(A\mid B_1) + P(B_2) \cdot P(A\mid B_2)$

Thay số:

$P(A) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{7} = \frac{3}{10} + \frac{1}{7} = \frac{21+10}{70}=\frac{31}{70}$

5. Công thức xác suất toàn phần và các kỹ thuật cần nhớ

Công thức xác suất toàn phần cơ bản:

Cho các biến cố $B_1, B_2,..., B_n$tạo thành một hệ đầy đủ và $A$ là biến cố bất kỳ:

$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) \cdot P(A\mid B_i)$

Kỹ thuật cần nhớ:

• Biến cố $B_i$(hệ đầy đủ) phải phân chia mọi trường hợp có thể xảy ra.
• Tính đúng xác suất$P(B_i)$, chú ý các trường hợp xác suất không đều.
• Tính chính xác xác suất$P(A\mid B_i)$từng trường hợp.
• Chỉ sử dụng khi biến cố $A$"phụ thuộc vào" các trường hợp chia.

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

• Chọn ngẫu nhiên nhiều bước: Mỗi bước tương ứng một biến cố phân chia khác nhau (xếp lớp trước khi bốc thăm, chọn nhóm rồi chọn thành viên, v.v.).
• Xác suất các trường hợp không đều: Rất chú ý tính đúng$P(B_i)$, tránh lấy nhầm 1/n nếu phân bố không đều.
• Bài toán kết hợp với xác suất có điều kiện và công thức Bayes: Khi cần tính xác suất ngược.
• Bài toán nhiều lớp phân chia (nhiều hơn 2 lớp): Áp dụng công thức tổng quát hóa.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết từng bước

Bài tập mẫu 1:Một học sinh làm bài kiểm tra trắc nghiệm gồm một câu hỏi. Nếu ôn đúng nội dung thì xác suất trả lời đúng là $0{,}8$, nếu đoán thì xác suất đúng là $0{,}25$. Biết xác suất học sinh ôn đúng là $0{,}7$. Tính xác suất học sinh trả lời đúng câu hỏi.

1. Gọi$A$: Học sinh trả lời đúng. Gọi$B_1$: Học sinh ôn đúng.$B_2$: Học sinh đoán.
2. $P(B_1) = 0{,}7$;$P(B_2) = 0{,}3$
3. $P(A \mid B_1) = 0{,}8$;$P(A \mid B_2) = 0{,}25$
4. $P(A) = P(B_1) \cdot P(A\mid B_1) + P(B_2) \cdot P(A\mid B_2)$
5. $P(A) = 0{,}7 \times 0{,}8 + 0{,}3 \times 0{,}25 = 0{,}56 + 0{,}075 = 0{,}635$

Kết luận: Xác suất học sinh trả lời đúng là $0{,}635$

Bài tập mẫu 2:Có 3 máy sản xuất cùng một loại sản phẩm. Máy A sản xuất 30% tổng sản lượng với tỉ lệ hàng đạt chuẩn là 95%, máy B sản xuất 20% với tỉ lệ đạt chuẩn 80%, máy C sản xuất 50% với tỉ lệ đạt chuẩn 90%. Một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên. Tìm xác suất sản phẩm này đạt chuẩn.

1. Gọi$A$: Sản phẩm đạt chuẩn. Gọi$B_i$: Sản phẩm do máy$i$sản xuất.
2. $P(B_A) = 0{,}3$,$P(B_B) = 0{,}2$,$P(B_C) = 0{,}5$
3. $P(A \mid B_A) = 0{,}95$,$P(A \mid B_B) = 0{,}8$,$P(A \mid B_C) = 0{,}9$
4. $P(A) = P(B_A) \cdot P(A \mid B_A) + P(B_B) \cdot P(A \mid B_B) + P(B_C) \cdot P(A \mid B_C)$
5. $P(A) = 0{,}3 \times 0{,}95 + 0{,}2 \times 0{,}8 + 0{,}5 \times 0{,}9 = 0{,}285 + 0{,}16 + 0{,}45 = 0{,}895$

Kết luận: Xác suất sản phẩm đạt chuẩn là $0{,}895$

8. Bài tập thực hành tự luyện

1. Một hộp chứa 4 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh, hộp khác chứa 7 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh. Chọn ngẫu nhiên 1 hộp và lấy ra 1 viên bi. Tính xác suất lấy được viên bi đỏ.
2. Một đề thi gồm 2 phần: phần 1 xác suất học sinh làm đúng là $0{,}7$, phần 2 xác suất làm đúng là $0{,}9$. Nếu một học sinh trả lời đúng, tính xác suất câu trả lời thuộc phần 1.
3. Xưởng sản xuất có 2 dây chuyền: dây chuyền 1 chiếm 40% sản lượng, tỷ lệ đạt chuẩn 98%; dây chuyền 2 chiếm 60% sản lượng, tỷ lệ đạt chuẩn 85%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm. Hỏi xác suất sản phẩm đạt chuẩn.

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

• Phân định rõ hệ đầy đủ: Nếu bỏ sót trường hợp thì xác suất tổng không bằng 1 → kết quả sai.
• Chú ý xác suất các trường hợp có đều nhau không, không mặc định tất cả là $\frac{1}{n}$.
• Kiểm tra: $\sum P(B_i) = 1$ để đảm bảo không sót trường hợp.
• Không nhầm bài toán toàn phần với bài xác suất có điều kiện ngược (trường hợp cần dùng Bayes).
• Nên vẽ sơ đồ cây để hình dung từng nhánh xác suất, nhất là với bài nhiều bước hoặc nhiều hộp.

Việc luyện tập nhiều bài dạng công thức xác suất toàn phần sẽ giúp các em tự tin xử lý các bài xác suất có yếu tố chia trường hợp hoặc phân tích đa bước. Chúc các em học tốt!