Chiến lược giải bài toán về Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes lớp 12

1. Giới thiệu về loại bài toán này và vai trò quan trọng

Chủ đề "Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes" thuộc Chương VI – Xác suất có điều kiện, là một trọng tâm của chương trình Toán lớp 12. Các bài toán xoay quanh hai công thức này thường gặp trong đề thi THPT Quốc gia cũng như các kì kiểm tra. Việc nắm vững và biết sử dụng đúng phương pháp giải không chỉ giúp bạn đạt điểm cao mà còn rèn luyện khả năng tư duy xác suất và logic – kỹ năng quan trọng trong Toán học hiện đại, khoa học dữ liệu, quản trị rủi ro, v.v.

2. Đặc điểm của bài toán Công thức xác suất toàn phần và Bayes

• Thường dựa trên phân chia không gian mẫu thành các biến cố riêng biệt, đầy đủ, đôi một loại trừ để tính xác suất biến cố tổng hợp.
• Dễ xuất hiện dữ kiện đa tầng, sự kiện hỗn hợp hoặc không thể xác định trực tiếp xác suất biến cố cần tìm.
• Có thể hỏi xác suất xảy ra của một biến cố khi biết biến cố khác đã xảy ra.
• Yêu cầu xác lập được các biến cố "gốc" và ràng buộc xác suất có điều kiện.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

• Bước 1: Xác định rõ biến cố cần tính xác suất, liệt kê các biến cố độc lập/không giao nhau tạo thành hệ đầy đủ.
• Bước 2: Phân tích dữ kiện đề cho, xác định đâu là xác suất trực tiếp, đâu là xác suất điều kiện.
• Bước 3: Vẽ sơ đồ cây xác suất hoặc bảng giá trị để hình dung các trường hợp.
• Bước 4: Áp dụng đúng công thức xác suất toàn phần hoặc công thức Bayes.
• Bước 5: Thay số, tính toán cẩn thận đến kết quả cuối cùng.

4. Hướng dẫn giải bài toán bằng công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

• Công thức xác suất toàn phần: Nếu$B_1, B_2,..., B_n$là hệ đầy đủ các biến cố, đôi một không giao nhau, thì:

• Công thức Bayes: Dùng để cập nhật xác suất đã biết khi có thêm thông tin mới về một biến cố:

5. Ví dụ minh họa giải chi tiết

Ví dụ 1: Một nhà máy có 3 dây chuyền sản xuất A, B, C sản xuất ra 30%, 45%, và 25% tổng số sản phẩm; xác suất sản phẩm tốt của ba dây chuyền là 0,98; 0,95; và 0,92. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm, xác suất để sản phẩm đó là tốt là bao nhiêu?

• Bước 1: Các biến cố phân biệt và đầy đủ:
• +$B_1$: Lấy sản phẩm từ dây chuyền A$(P(B_1) = 0,3)$
• +$B_2$: Lấy sản phẩm từ dây chuyền B$(P(B_2) = 0,45)$
• +$B_3$: Lấy sản phẩm từ dây chuyền C$(P(B_3) = 0,25)$
• Bước 2: Xác suất để một sản phẩm là tốt khi biết nguồn gốc:
• +$P(A|B_1) = 0,98$
• +$P(A|B_2) = 0,95$
• +$P(A|B_3) = 0,92$
• Bước 3: Áp dụng công thức xác suất toàn phần:
• $P(A) = 0,3 \times 0,98 + 0,45 \times 0,95 + 0,25 \times 0,92 = 0,294 + 0,4275 + 0,23 = 0,9515$
• Đáp số:$P(A) = 0,9515$.

Ví dụ 2: Tiếp tục với ví dụ trên, nếu chọn được một sản phẩm tốt, xác suất nó là sản phẩm của dây chuyền C là bao nhiêu?

• Áp dụng công thức Bayes:
• $P(B_3|A) = \frac{P(B_3) \cdot P(A|B_3)}{P(A)} = \frac{0,25 \times 0,92}{0,9515} \approx \frac{0,23}{0,9515} \approx 0,2416$
• Đáp số:$P(B_3|A) \approx 0,2416$.

6. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Công thức xác suất toàn phần:
• $P(A) = \sum_{i=1}^n P(B_i) \cdot P(A|B_i)$
• Công thức Bayes:
• $P(B_i|A) = \frac{P(B_i) \cdot P(A|B_i)}{\sum_{j=1}^n P(B_j) \cdot P(A|B_j)}$
• Nên vẽ sơ đồ cây để kiểm soát các trường hợp nếu dữ liệu phức tạp.

7. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

• Bài toán xác suất lặp nhiều tầng, sử dụng cây chỉ số nhiều nhánh.
• Bài toán thiếu hệ đầy đủ biến cố: Phải tự thiết lập được hệ đầy đủ dựa trên ngữ cảnh bài.
• Thông tin cho dạng số liệu (bảng) thay vì tỷ lệ: Chuyển các số liệu sang xác suất.
• Bài toán đảo ngược: Hỏi xác suất nguồn/giả thuyết khi biết kết quả—phải dùng công thức Bayes.

8. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết từng bước

Bài tập: Một trường có ba lớp 12A, 12B, 12C lần lượt có 40, 35 và 25 học sinh. Tỷ lệ học sinh khá trong mỗi lớp là 70%, 80%, 60%. Chọn ngẫu nhiên một học sinh được học bổng, xác suất để học sinh đó là của lớp 12B là bao nhiêu, biết rằng tất cả học sinh khá đều được học bổng.

• Bước 1: Gọi$B_1, B_2, B_3$là biến cố chọn học sinh thuộc lớp 12A, 12B, 12C.
• Tính xác suất chọn học sinh từ mỗi lớp: Tổng số học sinh là $40+35+25=100$.
• $P(B_1) = 0,4$,$P(B_2) = 0,35$,$P(B_3) = 0,25$.
• Tỷ lệ học sinh khá của mỗi lớp:$P(A|B_1)=0,7$,$P(A|B_2)=0,8$,$P(A|B_3)=0,6$.
• Tính xác suất chọn một học sinh khá (tức là được học bổng):
• $P(A) = 0,4 \times 0,7 + 0,35 \times 0,8 + 0,25 \times 0,6 = 0,28 + 0,28 + 0,15 = 0,71$
• Xác suất để học sinh được chọn là của lớp 12B khi biết đã là học sinh khá:
• $P(B_2|A) = \frac{P(B_2) \cdot P(A|B_2)}{P(A)} = \frac{0,35 \times 0,8}{0,71} = \frac{0,28}{0,71} \approx 0,3944$
• Đáp số:$P(B_2|A) \approx 0,3944$.

9. Bài tập thực hành

• Bài 1: Một kho gồm ba thùng A, B, C chứa lần lượt 20%, 50%, 30% số bóng đèn. Trong mỗi thùng, tỷ lệ bóng tốt tương ứng là 95%, 97%, 80%. Lấy ngẫu nhiên một bóng đèn, xác suất để bóng đó là bóng tốt là bao nhiêu? Nếu biết bóng lấy được là bóng tốt, xác suất nó đến từ thùng A là bao nhiêu?
• Bài 2: Một kỳ thi được tổ chức cho ba nhóm học sinh: thi thử, thi thật, thi lại. Số học sinh tham dự các nhóm lần lượt là 40%, 55%, 5%. Xác suất đỗ với các nhóm tương ứng là 70%, 85%, 30%. Một học sinh được chọn ngẫu nhiên và biết là đỗ, xác suất để bạn đó dự thi thử là bao nhiêu?
• Bài 3: Một khu công nghiệp có ba phân xưởng sản xuất bánh với sản lượng chiếm 25%, 35%, 40%. Xác suất bánh đạt tiêu chuẩn vệ sinh thực phẩm của mỗi phân xưởng lần lượt là 96%, 92%, 98%. Chọn ngẫu nhiên một chiếc bánh được kiểm tra và thấy đạt chuẩn, xác suất nó được sản xuất từ phân xưởng thứ 2 là bao nhiêu?

10. Mẹo và lưu ý tránh lỗi sai thường gặp

• Không nhầm xác suất điều kiện với xác suất thường – luôn xác định rõ "cho trước" là gì.
• Hệ đầy đủ phải đôi một loại trừ và bao phủ tất cả khả năng.
• Luôn ghi chú và giải thích đầy đủ các biến cố dùng trong lời giải.
• Tính toán tỷ lệ, xác suất cẩn thận, và luôn đối chiếu lại kết quả.
• Vẽ sơ đồ cây giúp trực quan hóa quá trình lặp xác suất và điều kiện.
• Chú ý các bài toán đảo chiều (Bayes): hỏi ngược từ kết quả về nguyên nhân.

Kết luận

Việc thành thạo cách giải bài toán xác suất toàn phần và công thức Bayes sẽ giúp học sinh lớp 12 giải quyết tốt hầu hết các bài toán xác suất có điều kiện trong đề thi. Hãy luyện tập thêm bằng các ví dụ thực tế và đa dạng để củng cố kỹ năng phân tích và giải quyết vấn đề xác suất nâng cao.