Chiến lược giải bài toán về điều kiện để hai vectơ cùng phương hoặc vuông góc

1. Giới thiệu về bài toán điều kiện để hai vectơ cùng phương hoặc vuông góc và tầm quan trọng

Bài toán xác định điều kiện để hai vectơ cùng phương hoặc vuông góc là dạng bài tập cơ sở và then chốt trong môn Hình học không gian lớp 12. Loại bài này không chỉ xuất hiện thường xuyên ở các bài kiểm tra, thi THPT Quốc gia mà còn giúp phát triển tư duy hình học, khả năng phân tích và vận dụng linh hoạt các công thức vectơ trong không gian.

2. Phân tích đặc điểm của bài toán

Thông thường, đề bài sẽ cho biết tọa độ của các vectơ hoặc các điểm, yêu cầu xác định điều kiện để hai vectơ đã cho cùng phương (song song hoặc ngược hướng) hoặc vuông góc. Vấn đề có thể ở dưới dạng phương trình hoặc liên quan đến các đối tượng hình học như đường thẳng, mặt phẳng...

3. Chiến lược tiếp cận tổng thể dạng bài này

• Nhận dạng dạng bài: Xác định các vectơ cần xét, viết tọa độ chi tiết.
• Áp dụng công thức điều kiện để hai vectơ cùng phương hoặc vuông góc:
• Chuyển dữ kiện đề bài về phương trình hoặc hệ phương trình (nếu có tham số).
• Giải phương trình để tìm điều kiện.
• Kết luận và kiểm tra nghiệm phù hợp với các điều kiện đã đặt ra.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

-Bước 1:Viết tọa độ hai vectơ cần xét. -Bước 2:Gọi hai vectơ

Ví dụ: Cho$\vec{a} = (2, 1, -1)$,$\vec{b} = (k, 3, 2)$. Xác định$k$ để hai vectơ cùng phương hoặc vuông góc.

a)Hai vectơ cùng phương khi tồn tại$\lambda \neq 0$sao cho$\vec{a} = \lambda\vec{b}$, tức:

$\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3}$

Áp dụng vào ví dụ:

$\frac{2}{k} = \frac{1}{3} = \frac{-1}{2}$

Từ $\frac{2}{k} = \frac{1}{3}$ \Rightarrow k = 6$. Kiểm tra với$\frac{1}{3}$và$\frac{-1}{2}$không thỏa mãn nên$k$KHÔNG có giá trị để$\vec{a}$và$\vec{b}$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$, tức:

a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = 0

Áp dụng vào ví dụ:

$2k + 1 \times 3 + (-1) \times 2 = 0 \Leftrightarrow 2k+3-2=0 \Leftrightarrow 2k= -1 \Leftrightarrow k = -\frac{1}{2}$

Vậy$k = -\frac{1}{2}$thì hai vectơ $\vec{a}$và $\vec{b}$vuông góc.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Điều kiện cùng phương:$\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3}$(với các$b_i \neq 0$).
• Điều kiện vuông góc:$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$hay$a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = 0$.
• Có thể chuyển về các phương trình/hệ phương trình để tìm ẩn số.
• Với các bài liên quan đến đường thẳng, mặt phẳng, hãy xác định chính xác các vectơ pháp tuyến, vectơ chỉ phương trước khi áp dụng điều kiện.

6. Các biến thể và sự điều chỉnh chiến lược

• Nếu đề bài cho điểm và yêu cầu lập vectơ, hãy luôn trừ hoành độ, tung độ, cao độ tương ứng.
• Nếu đề bài cho đường thẳng, mặt phẳng: xđ lấy các vectơ chỉ phương, pháp tuyến tương ứng.
• Cẩn trọng với trường hợp một trong các thành phần của vectơ là 0.
• Một số bài cần giải hệ phương trình để tìm các giá trị tham số.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

-Bài toán:Trong không gian Oxyz, cho$A(1,2,0)$,$B(3,1,4)$,$C(5,k,8)$. Tìm$k$để$\vec{AB}$và $\vec{AC}$vuông góc.

-Lời giải:

$\vec{AB} = (3-1, 1-2, 4-0) = (2,-1,4)$

$\vec{AC} = (5-1, k-2, 8-0) = (4, k-2, 8)$

Điều kiện vuông góc:

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0$

2$\times$4 +(-1)$\times (k-2)$)$+4$\times" data-math-type="inline"> undefined

b)Hai vectơ vuông góc khi$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$, tức:

a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = 0

Áp dụng vào ví dụ:

$2k + 1 \times 3 + (-1) \times 2 = 0 \Leftrightarrow 2k+3-2=0 \Leftrightarrow 2k= -1 \Leftrightarrow k = -\frac{1}{2}$

Vậy$k = -\frac{1}{2}$thì hai vectơ $\vec{a}$và $\vec{b}$vuông góc.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Điều kiện cùng phương:$\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3}$(với các$b_i \neq 0$).
• Điều kiện vuông góc:$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$hay$a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = 0$.
• Có thể chuyển về các phương trình/hệ phương trình để tìm ẩn số.
• Với các bài liên quan đến đường thẳng, mặt phẳng, hãy xác định chính xác các vectơ pháp tuyến, vectơ chỉ phương trước khi áp dụng điều kiện.

6. Các biến thể và sự điều chỉnh chiến lược

• Nếu đề bài cho điểm và yêu cầu lập vectơ, hãy luôn trừ hoành độ, tung độ, cao độ tương ứng.
• Nếu đề bài cho đường thẳng, mặt phẳng: xđ lấy các vectơ chỉ phương, pháp tuyến tương ứng.
• Cẩn trọng với trường hợp một trong các thành phần của vectơ là 0.
• Một số bài cần giải hệ phương trình để tìm các giá trị tham số.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

-Bài toán:Trong không gian Oxyz, cho$A(1,2,0)$,$B(3,1,4)$,$C(5,k,8)$. Tìm$k$để$\vec{AB}$và $\vec{AC}$vuông góc.

-Lời giải:

$\vec{AB} = (3-1, 1-2, 4-0) = (2,-1,4)$

$\vec{AC} = (5-1, k-2, 8-0) = (4, k-2, 8)$

Điều kiện vuông góc:

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0$

2$\times$4 +(-1)$\times (k-2)$)$+4$\times$ 8 = 0

$8 - (k-2) + 32 = 0 \Rightarrow 8-k +2+32=0$

$42 - k = 0 \Rightarrow k = 42$

Vậy$k = 42$.

8. Bài tập thực hành cho học sinh tự giải

- Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho$\vec{u} = (2, -1, m)$,$\vec{v} = (1, 3, 2)$. Tìm$m$ để hai vectơ cùng phương.

- Bài 2: Cho các điểm$A(0, -1, 2), B(2, 3, -4), C(-3, 5, t)$. Tìm$t$để$\vec{AB}$và $\vec{AC}$vuông góc.

- Bài 3: Cho$\vec{a} = (1, 2, 3)$,$\vec{b} = (x, 4, 6)$. Tìm$x$để$\vec{a}$và $\vec{b}$cùng phương cũng như vuông góc.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Luôn kiểm tra thật kỹ thứ tự trừ tọa độ khi lập vectơ cho chính xác.
• Khi xét cùng phương, phải đảm bảo tỉ số các thành phần là bằng nhau và đều xác định (không chia cho 0).
• Cần kiểm tra nghiệm tìm được có thỏa mãn hết các điều kiện đề bài và ràng buộc toán học không.
• Chú ý các trường hợp đặc biệt như vectơ không, trường hợp 2 vectơ cùng phương nhưng cùng bằng 0 sẽ không hợp lệ.
• Đối với các vectơ trong hình học không gian, xác định đúng vectơ pháp tuyến, chỉ phương là yếu tố then chốt.