Chiến lược giải quyết bài toán Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm lớp 12

1. Giới thiệu về bài toán Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Độ lệch chuẩn là một trong những số đo quan trọng nhất để đánh giá mức độ phân tán của một tập dữ liệu. Trong thực tế và các bài kiểm tra, bạn thường gặp dạng bài toán yêu cầu tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm (số liệu đã được chia thành các lớp hoặc khoang giá trị).Việc hiểu và biếtcách giải bài toán độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhómgiúp học sinh vận dụng tốt kiến thức thống kê trong thực tiễn, đồng thời dễ dàng ghi điểm ở các bài thi THPT quốc gia và kiểm tra cuối kỳ.

2. Đặc điểm của loại bài toán này

• Dữ liệu đã được chia thành các lớp (hoặc nhóm), mỗi lớp có tần số (số lần xuất hiện) riêng.
• Thông tin về giá trị cụ thể của từng phần tử không còn mà chỉ còn đặc trưng bởi trung điểm của lớp.
• Bài toán yêu cầu tính độ lệch chuẩn hoặc phương sai dựa trên các thông tin về lớp, trung điểm và tần số.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

• Bước 1: Tính trung điểm của từng lớp (nếu chưa có).
• Bước 2: Tính trung bình cộng ghép nhóm ($\overline{x}$).
• Bước 3: Tính phương sai ghép nhóm ($s^2$).
• Bước 4: Lấy căn bậc hai của phương sai để ra độ lệch chuẩn.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Giả sử đề cho bảng số liệu như sau:

• Lớp: [10–20), [20–30), [30–40), [40–50)
• Tần số: 3, 7, 12, 8

- Bước 1: Tìm trung điểm mỗi lớp:Trung điểm lớp$[a, b)$là $x = \frac{a + b}{2}.$

+ [10–20):$x_1 = \frac{10+20}{2} = 15$;[20–30):$x_2 = 25$;[30–40):$x_3 = 35$;[40–50):$x_4 = 45$.

- Bước 2: Tính trung bình cộng:

$\overline{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{3 \times 15 + 7 \times 25 + 12 \times 35 + 8 \times 45}{3 + 7 + 12 + 8}$

$= \frac{45 + 175 + 420 + 360}{30} = \frac{1000}{30} \approx 33,33$

- Bước 3: Tính phương sai:

Áp dụng công thức:

$s^2 = \frac{\sum f_i (x_i - \overline{x})^2}{\sum f_i}$

Ta lập bảng phụ trợ:

Tổng$f_i(x_i-\overline{x})^2=1010,68+485,73+33,36+1089,36=2619,13$. Tổng$f_i=30$.

$s^2=\frac{2619,13}{30} \approx 87,30$

- Bước 4: Lấy căn bậc hai để được độ lệch chuẩn:

$s = \sqrt{87,30} \approx 9,35$

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Trung điểm lớp:$x_i = \frac{a_i + b_i}{2}$
• Trung bình ghép nhóm: $\overline{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$
• Phương sai: $s^2 = \frac{\sum f_i (x_i - \overline{x})^2}{\sum f_i}$
• Độ lệch chuẩn: $s = \sqrt{s^2}$

Chú ý: Nếu đề yêu cầu chuẩn hóa phương sai theo mẫu, dùng mẫu số là $\sum f_i - 1$.

6. Các biến thể và điều chỉnh chiến lược

• Nếu yêu cầu tính cho cả dãy tổng thể (toàn bộ dữ liệu), mẫu số là $\sum f_i$.
• Nếu cho trước trung bình hoặc phương sai, có thể phải sử dụng phương trình đối với$x$chưa biết.
• Một số bài toán khó có thể hỏi ngược: tìm giá trị tần số (hoặc số liệu ghép nhóm) khi biết độ lệch chuẩn.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập: Cho bảng số liệu về điểm thành phần môn Toán như sau:

Yêu cầu: Tính độ lệch chuẩn điểm Toán của lớp.

Lời giải:

- Trung điểm lớp:$[0–2)$: 1;$[2–4)$: 3;$[4–6)$: 5;$[6–8)$: 7;$[8–10)$: 9

- Trung bình:$\overline{x} = \frac{1 \times 1 + 2 \times 3 + 6 \times 5 + 11 \times 7 + 5 \times 9}{1+2+6+11+5} = \frac{1 + 6 + 30 + 77 + 45}{25} = \frac{159}{25} = 6,36$

- Sắp bảng phụ trợ để tính phương sai:

Tổng$f_i(x_i-\overline{x})^2 = 28,75+22,58+11,10+4,51+34,85 = 101,79$.

$s^2 = \frac{101,79}{25} = 4,07$

$s=\sqrt{4,07} \approx 2,02$

8. Bài tập thực hành

• Một lớp học có bảng điểm như sau: Lớp điểm$[12–16)$: 4 học sinh;$[16–20)$: 8 học sinh;$[20–24)$: 10 học sinh;$[24–28)$: 6 học sinh. Hãy tính độ lệch chuẩn.
• Bảng dữ liệu suất tiêu thụ điện (kWh/tháng): Lớp$[50–80)$: 5 hộ;$[80–110)$: 12 hộ;$[110–140)$: 8 hộ;$[140–170)$: 5 hộ. Tính độ lệch chuẩn.
• Dữ liệu chiều cao (cm): Lớp$[150–155)$: 2 người;$[155–160)$: 9 người;$[160–165)$: 10 người;$[165–170)$: 4 người. Tính phương sai và độ lệch chuẩn.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Luôn tính đúng trung điểm lớp. Nếu sai trung điểm sẽ sai toàn bộ bài.
• Cẩn thận xác định đúng mẫu số: tổng tần số ($n$) hay$n-1$theo yêu cầu bài toán.
• Không nhầm lẫn giữa phương sai và độ lệch chuẩn. Phương sai là $s^2$, độ lệch chuẩn là $s$.
• Nên lập bảng phụ trợ để tránh sót dấu$-$, dấu$imes$khi tính giá trị $(x_i - \overline{x})^2$và $f_i(x_i-\overline{x})^2$.
• Kiểm tra lại tổng tần số và các phép tính cộng, nhân trong bảng.

Hy vọng với hướng dẫn chi tiết trên, các em đã nắm vữngcách giải bài toán độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhómcũng như các kỹ thuật và mẹo hiệu quả để đạt điểm tối đa!