Chiến Lược Giải Bài Toán Độ Lệch Chuẩn Của Mẫu Số Liệu Ghép Nhóm Lớp 12: Hướng Dẫn Chi Tiết Từng Bước

1. Giới thiệu về bài toán độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Độ lệch chuẩn là một chỉ số quan trọng để đo mức độ phân tán của dữ liệu quanh giá trị trung bình. Trong chương trình Toán lớp 12, các bài toán về độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm thường xuất hiện trong phần thống kê — một chủ đề thiết thực vì gắn liền với thực tế và ứng dụng rộng rãi. Việc nắm vững cách giải bài toán độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm không chỉ giúp học sinh giải chính xác các dạng bài tập, mà còn trang bị kiến thức nền tảng cho các kỳ thi quan trọng như THPT Quốc gia hoặc ứng dụng trong các ngành kinh tế, quản lý, khoa học dữ liệu.

2. Đặc điểm của bài toán độ lệch chuẩn ghép nhóm

Loại bài toán này có một số đặc điểm nổi bật:
- Số liệu ban đầu được chia thành các lớp (nhóm) với tần số (hoặc tần suất) tương ứng.
- Không có đầy đủ số liệu cấu thành từng phần tử riêng lẻ.
- Phải sử dụng giá trị giữa (giá trị trung bình lớp hoặc mốc đại diện) cho mỗi nhóm để tính toán.

3. Chiến lược tổng thể khi tiếp cận bài toán

Để giải bài toán kiểu này hiệu quả, học sinh cần tuần tự thực hiện các bước:

• 1. Xác định rõ các lớp, số liệu tần số, và các giá trị giữa của từng lớp.
• 2. Tính trung bình cộng mẫu ghép nhóm.
• 3. Tính tổng bình phương độ lệch của các giá trị giữa so với trung bình cộng và nhân với tần số tương ứng.
• 4. Sử dụng công thức độ lệch chuẩn mẫu ghép nhóm để tính kết quả.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Giả sử bài toán như sau:

Bảng phân bố tần số chiều cao học sinh trong một lớp như sau:

Yêu cầu: Tính độ lệch chuẩn mẫu chiều cao của học sinh.

Bước chi tiết:

• Bước 1: Tìm giá trị giữa mỗi lớp:
  
  - 150–154: ($150 + 154)/2 = 152$
  - 155–159: ($155 + 159)/2 = 157$
  - 160–164: ($160 + 164)/2 = 162$
  - 165–169: ($165 + 169)/2 = 167$
  - 170–174: ($170 + 174)/2 = 172$
• Bước 2: Lập bảng bổ trợ:

• Bước 3: Tính trung bình cộng mẫu:
  $\overline{x} = \frac{\sum n_i x_i}{\sum n_i} = \frac{608 + 1,256 + 2,430 + 1,002 + 344}{4 + 8 + 15 + 6 + 2} = \frac{5,640}{35} = 161.14$
• Bước 4: Tính $\sum n_i (x_i - \overline{x})^2$, hoặc dùng công thức rút gọn:
  $S^2 = \frac{\sum n_i x_i^2}{N} - (\overline{x})^2$
  Trong đó N = \sum n_i.
  $S^2 = \frac{92,416 + 197,096 + 393,660 + 167,334 + 59,168}{35} - (161.14)^2$
  = \frac{909,674}{35} - 25,966.9 \approx 25,990.7 - 25,966.9 = 23.8$S^2$ để ra độ lệch chuẩn:
  $S = \sqrt{S^2} = \sqrt{23.8} \approx 4.88$ (cm)

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Giá trị giữa mỗi lớp:$x_i = \frac{a_i + b_i}{2}$, với$a_i$,$b_i$lần lượt là cận dưới và trên của lớp.
• Tổng tần số: $N = \sum n_i$
• Trung bình cộng mẫu: $\overline{x} = \frac{\sum n_i x_i}{N}$
• Độ lệch chuẩn (công thức chuẩn): $S = \sqrt{\frac{\sum n_i(x_i - \overline{x})^2}{N}}$
• Công thức rút gọn: $S = \sqrt{\frac{\sum n_i x_i^2}{N} - (\overline{x})^2}$

6. Các biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

• Nếu đề bài yêu cầu tính phương sai thay vì độ lệch chuẩn: Chỉ cần dừng lại ở $S^2$mà không lấy căn.
• Nếu bảng đã cho giá trị giữa và tần số, bỏ qua bước tính giá trị giữa.
• Nếu đề bài cho bảng tần suất thay vì tần số, nhân mỗi tần suất với tổng số phần tử để ra tần số thực tế.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Một lớp học có phân bố điểm kiểm tra như sau:

Tính độ lệch chuẩn của điểm kiểm tra.

• Bước 1: Tính giá trị giữa:
  - 4–5:$(4+5)/2 = 4.5$
  - 6–7:$(6+7)/2 = 6.5$
  - 8–9:$(8+9)/2 = 8.5$
  - 10–11:$(10+11)/2 = 10.5$
• Bước 2: Lập bảng bổ trợ và tính toán từng bước:
  
  |$x_i$|$n_i$|$n_ix_i$

  $n_ix_i^2$
  4.5

  2 | 9 | 40.5 |
  | 6.5 | 5 | 32.5 | 211.25 |
  | 8.5 | 8 | 68 | 578 |
  |10.5 | 3 | 31.5 | 330.75 |
• Bước 3: Tính tổng:
  - Tổng tần số:$N=2+5+8+3=18$
  - Tổng$n_ix_i = 9+32.5+68+31.5=141$
  - Tổng$n_ix_i^2 = 40.5+211.25+578+330.75=1,160.5$
• Bước 4: Tính trung bình cộng mẫu:
  $\overline{x} = \frac{141}{18} \approx 7.83$
• Bước 5: Tính phương sai và độ lệch chuẩn:
  $S^2 = \frac{1,160.5}{18}-(7.83)^2=64.472-61.32=3.152 <br>$S = \sqrt{3.152} \approx 1.78$<br>Vậy độ lệch chuẩn điểm kiểm tra là khoảng$1.78" data-math-type="inline"> undefined
• Bước 5: Lấy căn bậc hai của $S^2$ để ra độ lệch chuẩn:
  $S = \sqrt{S^2} = \sqrt{23.8} \approx 4.88$ (cm)

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Giá trị giữa mỗi lớp:$x_i = \frac{a_i + b_i}{2}$, với$a_i$,$b_i$lần lượt là cận dưới và trên của lớp.
• Tổng tần số: $N = \sum n_i$
• Trung bình cộng mẫu: $\overline{x} = \frac{\sum n_i x_i}{N}$
• Độ lệch chuẩn (công thức chuẩn): $S = \sqrt{\frac{\sum n_i(x_i - \overline{x})^2}{N}}$
• Công thức rút gọn: $S = \sqrt{\frac{\sum n_i x_i^2}{N} - (\overline{x})^2}$

6. Các biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

• Nếu đề bài yêu cầu tính phương sai thay vì độ lệch chuẩn: Chỉ cần dừng lại ở $S^2$mà không lấy căn.
• Nếu bảng đã cho giá trị giữa và tần số, bỏ qua bước tính giá trị giữa.
• Nếu đề bài cho bảng tần suất thay vì tần số, nhân mỗi tần suất với tổng số phần tử để ra tần số thực tế.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Một lớp học có phân bố điểm kiểm tra như sau:

Tính độ lệch chuẩn của điểm kiểm tra.

• Bước 1: Tính giá trị giữa:
  - 4–5:$(4+5)/2 = 4.5$
  - 6–7:$(6+7)/2 = 6.5$
  - 8–9:$(8+9)/2 = 8.5$
  - 10–11:$(10+11)/2 = 10.5$
• Bước 2: Lập bảng bổ trợ và tính toán từng bước:
  
  |$x_i$|$n_i$|$n_ix_i$

  $n_ix_i^2$
  4.5

  2 | 9 | 40.5 |
  | 6.5 | 5 | 32.5 | 211.25 |
  | 8.5 | 8 | 68 | 578 |
  |10.5 | 3 | 31.5 | 330.75 |
• Bước 3: Tính tổng:
  - Tổng tần số:$N=2+5+8+3=18$
  - Tổng$n_ix_i = 9+32.5+68+31.5=141$
  - Tổng$n_ix_i^2 = 40.5+211.25+578+330.75=1,160.5$
• Bước 4: Tính trung bình cộng mẫu:
  $\overline{x} = \frac{141}{18} \approx 7.83$
• Bước 5: Tính phương sai và độ lệch chuẩn:
  $S^2 = \frac{1,160.5}{18}-(7.83)^2=64.472-61.32=3.152 <br>$S = \sqrt{3.152} \approx 1.78$<br>Vậy độ lệch chuẩn điểm kiểm tra là khoảng$1.78$ .

8. Bài tập tự luyện

• Bài 1: Một lớp học có bảng phân bố số lần phát biểu ở 5 nhóm như sau:
  | Số lần (Nhóm)

  Số học sinh
  0–2

  3 |
  | 3–5 | 6 |
  | 6–8 | 7 |
  | 9–11 | 4 |
  |12–14 | 2 |
  
  Hãy tính độ lệch chuẩn của số lần phát biểu trong lớp.
• Bài 2: Lớp trưởng thống kê điểm kiểm tra miệng của các bạn học sinh như sau:
  | Điểm (Nhóm)

  Số học sinh
  4–5

  2 |
  | 6–7 | 10 |
  | 8–9 | 15 |
  | 10–11 | 3 |
  Yêu cầu tính độ lệch chuẩn của điểm kiểm tra miệng.

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

• Luôn sử dụng giá trị giữa lớp để tính, không lấy cận trên hay cận dưới.
• Cẩn thận trong tính tổng và bình phương vì dễ nhầm số liệu.
• Khi dùng công thức rút gọn, hãy tính đúng dấu và kiểm tra lại phép tính$(\overline{x})^2$.
• Nếu đề bài cho tần suất, cần quy đổi sang tần số.
• Không nhầm lẫn giữa phương sai và độ lệch chuẩn (phương sai là $S^2$, độ lệch chuẩn là $S$).