Chiến lược giải bài toán Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm lớp 12: Hướng dẫn chi tiết từ A tới Z

1. Giới thiệu về bài toán Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Ở lớp 12, bài toán về độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là nội dung trọng tâm trong chủ đề “Các số đặc trưng đo mức độ phân tán”. Qua đó, học sinh tiếp cận công cụ thống kê cực kỳ quan trọng để mô tả và phân tích sự phân tán của dữ liệu trong thực tiễn. Việc nắm vững chiến lược giải không chỉ giúp học sinh tự tin giải quyết bài tập trên lớp, mà còn vận dụng tốt trong kiểm tra, thi THPT quốc gia và các ứng dụng trong nghiên cứu thực tế.

2. Đặc điểm của bài toán Độ lệch chuẩn mẫu số liệu ghép nhóm

Bài toán này xuất hiện khi dữ liệu không cho theo từng giá trị rời rạc (số liệu đơn), mà được chia thành các lớp (nhóm), kèm theo tần số hoặc tần suất của từng lớp. Mục tiêu là tính độ lệch chuẩn của mẫu dựa trên các số liệu đã ghép nhóm này. Việc này yêu cầu học sinh biết xác định đúng điểm giữa lớp, tần số, và vận dụng công thức tính phù hợp.

• Dữ liệu luôn cho dưới dạng bảng ghép nhóm.
• Cần xác định điểm giữa mỗi lớp (ký hiệu$x_i$).
• Biết cách sử dụng công thức độ lệch chuẩn mẫu cho dữ liệu ghép nhóm.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán Độ lệch chuẩn số liệu ghép nhóm

Để giải quyết dạng bài này hiệu quả, học sinh nên tuân thủ chiến lược tổng quát dưới đây:

1. Đọc kỹ bảng số liệu, xác định các lớp, điểm giữa lớp$x_i$, tần số $n_i$.
2. Tính tổng số quan sát$n$.
3. Tính trung bình mẫu ghép nhóm$\overline{x}$.
4. Tính $\sum n_i x_i^2$và $\sum n_i x_i$.
5. Áp dụng công thức tính độ lệch chuẩn mẫu.

4. Các bước giải bài toán Độ lệch chuẩn số liệu ghép nhóm kèm ví dụ

Ví dụ minh họa: Bảng số liệu về chiều cao (cm) của 40 học sinh được ghép nhóm như sau:

Bảng phân bố tần số:

- Lớp: 150-154, 155-159, 160-164, 165-169, 170-174

- Tần số: 4, 8, 15, 10, 3

Yêu cầu: Tính độ lệch chuẩn mẫu của số liệu trên.

Bước 1: Xác định điểm giữa lớp ($x_i$), tần số ($n_i$)

Bảng chi tiết như sau:

Bước 2: Tính tổng số quan sát$n$

$n = 4 + 8 + 15 + 10 + 3 = 40$

Bước 3: Tính trung bình mẫu ghép nhóm$\overline{x}$

Công thức: $\overline{x} = \frac{\sum n_i x_i}{n}$

$\sum n_i x_i = 4 \times 152 + 8 \times 157 + 15 \times 162 + 10 \times 167 + 3 \times 172 = 608 + 1256 + 2430 + 1670 + 516 = 6480$

$\overline{x} = \frac{6480}{40} = 162$

Bước 4: Tính $\sum n_i x_i^2$

$\sum n_i x_i^2 = 4 \times 152^2 + 8 \times 157^2 + 15 \times 162^2 + 10 \times 167^2 + 3 \times 172^2$

Tính từng giá trị:
-$4 \times 152^2 = 4 \times 23104 = 92416$-$8 \times 157^2 = 8 \times 24649 = 197192$-$15 \times 162^2 = 15 \times 26244 = 393660$-$10 \times 167^2 = 10 \times 27889 = 278890$-$3 \times 172^2 = 3 \times 29584 = 88752$

$\sum n_i x_i^2 = 92416 + 197192 + 393660 + 278890 + 88752 = 1057910$

Bước 5: Áp dụng công thức tính độ lệch chuẩn mẫu

Công thức:
$S = \sqrt{\frac{\sum n_i x_i^2}{n} - \left(\overline{x}\right)^2}$

$S = \sqrt{\frac{1057910}{40} - (162)^2} = \sqrt{26447,75 - 26244} = \sqrt{203,75} \approx 14,28$

Vậy độ lệch chuẩn mẫu là khoảng$14,28$(cm).

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Tính điểm giữa lớp:$x_i = \frac{a_i + b_i}{2}$với$a_i, b_i$là cận dưới và trên lớp.
• Tổng số quan sát: $n = \sum n_i$
• Giá trị trung bình: $\overline{x} = \frac{\sum n_i x_i}{n}$
• Tổng bình phương: $\sum n_i x_i^2$
• Độ lệch chuẩn mẫu: $S = \sqrt{\frac{\sum n_i x_i^2}{n} - (\overline{x})^2}$

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

• Nếu bảng cho tần suất thay vì tần số, hãy nhân tần suất với tổng số quan sát để suy ra tần số.
• Với bài toán cho thêm yêu cầu tính phương sai, chỉ cần bỏ căn bậc hai ở công thức độ lệch chuẩn.
• Với dữ liệu nhiều lớp hoặc số liệu lớn, nên lập bảng phụ để tính$n_i x_i$và $n_i x_i^2$. Có thể sử dụng máy tính bỏ túi để tính nhanh.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập:
Bảng phân bố độ dài (cm) của 30 đoạn dây như sau:
| Lớp | 10-14 | 15-19 | 20-24 | 25-29 |
|------------|-------|-------|-------|-------|
| Tần số $n_i$| 5 | 12 | 8 | 5 |

Yêu cầu: Tính độ lệch chuẩn mẫu của số liệu trên.

Lời giải từng bước:

1. Tính$x_i$:
   - 10-14:$x_1 = 12$
   - 15-19:$x_2 = 17$
   - 20-24:$x_3 = 22$
   - 25-29:$x_4 = 27$
2. Tổng số quan sát$n = 5 + 12 + 8 + 5 = 30$
3. Tính $\sum n_i x_i = 5 \times 12 + 12 \times 17 + 8 \times 22 + 5 \times 27 = 60 + 204 + 176 + 135 = 575$
   $\overline{x} = \frac{575}{30} \approx 19,17$
4. Tính $\sum n_i x_i^2 = 5 \times 144 + 12 \times 289 + 8 \times 484 + 5 \times 729 = 720 + 3468 + 3872 + 3645 = 11705$
5. Tính độ lệch chuẩn mẫu:
   $S = \sqrt{\frac{11705}{30} - (19,17)^2} = \sqrt{390,17 - 367,56} = \sqrt{22,61} \approx 4,76$ (cm)

8. Bài tập thực hành tự luyện

1. Một lớp học tiến hành khảo sát điểm Toán (thang 10) của 50 học sinh, cho bảng sau:
   | Lớp điểm | 1-3 | 4-6 | 7-9

   10-12
   Tần số

   5 | 15 | 22 | 8 |
   Tính độ lệch chuẩn mẫu.
2. Thời gian làm bài (phút) của 20 bạn được ghép nhóm:
   | Lớp thời gian | 20-29 | 30-39

   40-49
   Tần số

   6 | 9 | 5 |
   Tính độ lệch chuẩn mẫu.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm khi giải bài Độ lệch chuẩn số liệu ghép nhóm

• Đọc kỹ đề, xác định đúng các giá trị và tần số, tuyệt đối không nhầm điểm giữa với giới hạn lớp.
• Luôn kiểm tra lại tổng số quan sát có khớp với bảng gốc không.
• Luôn giữ đủ chữ số thập phân ở các phép tính trung gian, chỉ làm tròn ở kết quả cuối cùng.
• Nếu làm trắc nghiệm, sử dụng máy tính cầm tay để tính $\sum n_i x_i$, $\sum n_i x_i^2$ nhanh chóng.
• Cẩn thận với đơn vị và yêu cầu của đề bài (cm, điểm, phút,...)