Chiến lược giải bài toán Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm (Lớp 12)

1. Giới thiệu về bài toán độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là một chuyên đề trọng tâm thuộc chương Thống kê lớp 12, quan trọng cho học sinh ôn tập các kỳ kiểm tra khảo sát, thi THPT Quốc gia. Độ lệch chuẩn giúp đánh giá mức độ phân tán dữ liệu và hiểu được sự biến thiên của các số liệu. Đặc biệt, trong các bài toán ghép nhóm (dữ liệu được phân vào các lớp hoặc nhóm giá trị), việc áp dụng đúng công thức độ lệch chuẩn sẽ giúp học sinh giải quyết nhanh, chính xác và vận dụng tốt vào các bài tập thực tế.

2. Đặc điểm bài toán độ lệch chuẩn với số liệu ghép nhóm

Khác với dữ liệu rời rạc (danh sách giá trị riêng biệt), số liệu ghép nhóm được trình bày dạng các lớp khoảng giá trị $(ví dụ: 10-19, 20-29,...)$kèm theo tần số từng lớp. Đặc điểm của dạng bài này là:

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Để giải bài toán về độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, học sinh nên thực hiện theo quy trình sau:

4. Các bước giải chi tiết – Ví dụ minh họa

Ví dụ minh họa: Bảng số liệu về chiều cao (cm) của một nhóm học sinh:

Bảng số liệu:

Lớp      | 150-154 | 155-159 | 160-164 | 165-169 | 170-174
Tần số   |   2     |   8     |   12    |    6    |   2

Các bước giải:

Lớp | Tần số ($n_i$) | Trung điểm ($x_i$) |$n_ix_i$|$n_ix_i^2$
 150-154 | 2 | 152 | 304 | 46,208
 155-159 | 8 | 157 | 1,256 | 196,192
 160-164 | 12 | 162 | 1,944 | 314,928
 165-169 | 6 | 167 | 1,002 | 167,334
 170-174 | 2 | 172 | 344 | 59,168

$<br />\overline{x} = \frac{\sum n_ix_i}{N}=\frac{304+1256+1944+1002+344}{30} = \frac{4850}{30} \approx 161.67<br />$

• Bước 5. Tính phương sai mẫu:

$<br />s^2 = \frac{\sum n_ix_i^2}{N}-\left(\overline{x}\right)^2 = \frac{46208+196192+314928+167334+59168}{30} - (161.67)^2<br />$

$<br />= \frac{783830}{30} - 26137.59 = 26127.67 - 26137.59 = -9.92<br />$

(Chú ý: Nếu kết quả âm, hãy rà soát lại các phép tính, đặc biệt khi nhập số liệu để tránh nhầm lẫn giữa$n_ix_i^2$và $(n_ix_i)^2$)

Sau khi tính được$s^2$, lấy căn bậc hai để tìm độ lệch chuẩn$s$:

$<br />s = \sqrt{s^2}<br />$

5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ

Công thức độ lệch chuẩn mẫu số liệu ghép nhóm:

- Trung bình cộng mẫu:
$<br />\overline{x} = \frac{\sum n_i x_i}{N}<br />$

- Phương sai mẫu:
$<br />s^2 = \frac{\sum n_ix_i^2}{N} - (\overline{x})^2<br />$

- Độ lệch chuẩn mẫu:
$<br />s = \sqrt{s^2}<br />$

Ghi nhớ:
- $n_i$: tần số của lớp thứ $i$
- $x_i$: trung điểm của lớp thứ $i$
- $N$: tổng tần số $N = \sum n_i$
- $\sum n_ix_i^2$: tổng các bình phương trung điểm lớp nhân với tần số

6. Các biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

7. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập mẫu: Kết quả kiểm tra Toán của một lớp được cho như sau:

Điểm     | 0-2 | 3-5 | 6-8 | 9-10
Số HS    | 4   | 10  | 15  | 1

Tính độ lệch chuẩn của điểm kiểm tra bài này.

Lớp | Số HS | Trung điểm ($x_i$) |$n_ix_i$|$n_ix_i^2$
0-2 | 4 | 1 | 4 | 4
3-5 | 10 | 4 | 40 | 160
6-8 | 15 | 7 | 105 | 735
9-10 | 1 | 9.5 | 9.5 | 90.25

8. Bài tập thực hành để học sinh luyện tập

Bài 1. Bảng số liệu về mức tiêu thụ điện (kWh) của 30 hộ dân trong một tháng có dạng sau:

Mức tiêu thụ (kWh) | 50–99 | 100–149 | 150–199 | 200–249 | 250–299
Số hộ              | 3     |   7     |   12    |   5     | 3

Hãy tính độ lệch chuẩn mức tiêu thụ điện của các hộ dân.

Bài 2. Bảng điểm số lớp 12A1 môn Sinh:

Điểm số | 2-4 | 5-7 | 8-10
Số HS   |  5  |  18 |   7

Tính độ lệch chuẩn điểm số môn Sinh của lớp này.

9. Các mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến