Blog

Lớp 12

Chiến Lược Giải Quyết Bài Toán Giá Trị Lớn Nhất, Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số (Lớp 12)

T
Tác giả
•
•8 phút đọc
Chia sẻ:
9 phút đọc

1. Giới thiệu về loại bài toán "Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số"

Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số là dạng toán căn bản và xuất hiện rất nhiều trong các đề kiểm tra, thi tốt nghiệp THPT quốc gia. Đây là kiến thức trọng tâm của chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Bài toán này không chỉ giúp học sinh hiểu sâu hơn về bản chất hàm số mà còn ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn, ví dụ như tối ưu hoá sản xuất, xây dựng, vật lý...

2. Đặc điểm nhận dạng bài toán giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

- Yêu cầu bài toán là xác định GTLN/GTNN của một hàm số trên một khoảng, đoạn hoặc tập xác định (TXĐ) nào đó.

- Có thể là hàm đa thức, phân thức, chứa căn, giá trị tuyệt đối...

- Dạng đề: “Tìm GTLN/GTNN của f(x) trên [a, b]”, “Giá trị lớn nhất của f(x) trên tập xác định”, “Tìm max/min của biểu thức…”

3. Chiến lược tổng thể giải nhanh dạng toán này

Dưới đây là tổng quan các bước giải bài toán GTLN/GTNN của hàm số:

  • Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
  • Bước 2: Tính đạo hàmf′(x)f'(x), tìm các điểm tới hạn (nghiệm củaf′(x)=0f'(x) = 0hoặcf′(x)f'(x)không xác định).
  • Bước 3: Xét các giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn, các điểm biên của đoạn (nếu có) và những điểm đặc biệt trong TXĐ (nếu cần).
  • Bước 4: So sánh các giá trị vừa tìm được. GTLN là giá trị lớn nhất, GTNN là nhỏ nhất.
  • Bước 5: Kết luận giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và vị trí đạt giá trị đó.

    • 4. Các bước giải chi tiết kèm ví dụ minh họa

    Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN củaf(x)=x2−3x+2f(x) = x^2 - 3x + 2trên đoạn[0;3][0; 3].

    Giải:

  • Bước 1: Xác định TXĐ:[0,3][0, 3](đã cho sẵn).
  • Bước 2: Tính đạo hàmf′(x)=2x−3f'(x) = 2x - 3.
  • Bước 3: Giảif′(x)=0⇔2x−3=0⇔x=1.5f'(x) = 0 \Leftrightarrow 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1.5.
  • Bước 4: Tínhf(x)f(x)tại các điểm0;1.5;30; 1.5; 3:

    • f(0)=02−3×0+2=2f(0) = 0^2 - 3 \times 0 + 2 = 2

    f(1.5)=(1.5)2−3×1.5+2=2.25−4.5+2=−0.25f(1.5) = (1.5)^2 - 3 \times 1.5 + 2 = 2.25 - 4.5 + 2 = -0.25

    f(3)=9−9+2=2f(3) = 9 - 9 + 2 = 2

    • So sánh: GTLN là 22tạix=0x=0và x=3x=3; GTNN là −0.25-0.25tạix=1.5x=1.5.

    Tóm tắt bảng giá trị:

    | x | 0 | 1.5 | 3 |
    |-----|---|-----|----|
    | f(x)| 2 | -0.25 | 2 |

    5. Các công thức & kỹ thuật cần nhớ

  • Công thức đạo hàm cơ bản:(f(x))′=f′(x)(f(x))' = f'(x).
  • Định lý giá trị lớn nhất, nhỏ nhất: Hàm liên tục trên đoạn kín[a,b][a, b]sẽ đạt GTLN/GTNN tại một hoặc nhiều điểm trong đoạn đó (có thể là biên hoặc điểm tới hạn).
  • Các dấu hiệu nghiệm của đạo hàm:f′(x)=0f'(x) = 0hoặc không xác định.
  • Với hàm số có TXĐ là ⋃\bigcupcác khoảng, cần xét riêng từng khoảng.

    • 6. Các biến thể bài toán & điều chỉnh chiến lược

  • - Bài toán trên đoạn [a;ba;b]: chỉ cần xét các điểm biên và nghiệmf′(x)=0f'(x)=0trong đoạn.
  • - Bài toán trên khoảng(a;b)(a;b): chỉ xét nghiệmf′(x)=0f'(x)=0, không lấy các điểmaa,bb.
  • - Bài toán trên tập xác định: Xét điểm tới hạn (f′(x)=0,f′(x)f'(x) = 0, f'(x)không xác định), các điểm "cận" của TXĐ (nếu hàm bị chặn), hoặc các điểm đặc biệt.
  • - Hàm có căn, phân thức, giá trị tuyệt đối: Cần chú ý kỹ TXĐ và đạo hàm, phân tích trường hợp chia các khoảng phù hợp.

    • Ví dụ 2: Tìm GTLN, GTNN củaf(x)=x+1x−2f(x) = \frac{x+1}{x-2}trên[3;5][3; 5].

    • TXĐ:x≠2x \neq 2, mà [3;5][3; 5]hoàn toàn thuộc TXĐ.

    f′(x)=(x−2)×1−(x+1)×1(x−2)2=x−2−x−1(x−2)2=−3(x−2)2f'(x) = \frac{(x-2) \times 1 - (x+1) \times 1}{(x-2)^2} = \frac{x-2 - x - 1}{(x-2)^2} = \frac{-3}{(x-2)^2}

    Bởi vì f′(x)=−3(x−2)2<0f'(x) = -\frac{3}{(x-2)^2} < 0, nênf(x)f(x)luôn giảm trên[3;5][3; 5].

    ⇒\RightarrowGTLN tại trái (x=3x=3):f(3)=41=4f(3) = \frac{4}{1} = 4.

    GTNN tại phải (x=5x=5):f(5)=63=2f(5) = \frac{6}{3} = 2.

    Hình minh họa: Đồ thị hàm số f(x) = x² - 3x + 2 trên đoạn [0, 3] với điểm cực tiểu tại (1.5, -0.25) và điểm cực đại f(0)=f(3)=2
    Đồ thị hàm số f(x) = x² - 3x + 2 trên đoạn [0, 3] với điểm cực tiểu tại (1.5, -0.25) và điểm cực đại f(0)=f(3)=2
    Hình minh họa: Sơ đồ khối minh họa 5 bước giải bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số: xác định miền, tính đạo hàm, tìm điểm tới hạn, đánh giá giá trị tại điểm tới hạn và biên, so
    Sơ đồ khối minh họa 5 bước giải bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số: xác định miền, tính đạo hàm, tìm điểm tới hạn, đánh giá giá trị tại điểm tới hạn và biên, so

    Kết luận: GTLN là 44tạix=3x=3, GTNN là 22tạix=5x=5.

    7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

    Bài tập: Tìm GTLN và GTNN củaf(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3xtrên đoạn[−2;2][-2; 2].

    Giải chi tiết:

  • TXĐ:[−2;2][-2; 2].
  • Tính đạo hàm:f′(x)=3x2−3f'(x) = 3x^2 - 3.
  • Giảif′(x)=0⇔3x2−3=0⇔x2=1⇒x=1,−1f'(x) = 0 \Leftrightarrow 3x^2 - 3 = 0 \Leftrightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = 1, -1.
  • Tínhf(x)f(x)tạix=−2x = -2,−1-1,11,22:

    • f(−2)=(−2)3−3×(−2)=−8+6=−2f(-2) = (-2)^3 - 3 \times (-2) = -8 + 6 = -2

    f(−1)=(−1)3−3×(−1)=−1+3=2f(-1) = (-1)^3 - 3 \times (-1) = -1 + 3 = 2

    f(1)=1−3=−2f(1) = 1 - 3 = -2

    f(2)=8−6=2f(2) = 8 - 6 = 2

    Bảng giá trị tổng hợp:
    | x | -2 | -1 | 1 | 2 |
    |---|----|----|---|---|
    |f(x)| -2 | 2 | -2 | 2|

    Kết luận: GTLN là 22tạix=−1x = -1và x=2x = 2; GTNN là −2-2tạix=−2x = -2và x=1x = 1.

    8. Bài tập thực hành tự luyện

    Hãy tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau trên miền đã cho:

  • a)f(x)=2x2−4x+1f(x) = 2x^2 - 4x + 1trên[0;3][0; 3].
  • b) f(x)=4−x2f(x) = \sqrt{4 - x^2}trên[−2;2][-2; 2].
  • c)f(x)=2x+1x+1f(x) = \frac{2x+1}{x+1}trên[0;3][0; 3].
  • d)f(x)=∣x−2∣f(x) = |x - 2|trên[0;4][0; 4].

    • 9. Mẹo & lưu ý quan trọng để tránh sai lầm phổ biến

  • - Đừng quên xét cả điểm biên của đoạn!
  • - Luôn xét đúng tập xác định của hàm số.
  • - Đối với hàm chứa căn hoặc mẫu số, chú ý điều kiện tồn tại.
  • - Đạo hàm không xác định tại đâu, cần xét giá trị hàm số tại đó nếu thuộc miền xét.
  • - Khi hàm số luôn đồng biến/nghịch biến trên đoạn, GTLN ở một đầu, còn GTNN ở đầu kia.
  • - Nên trình bày tóm tắt bảng giá trị để dễ so sánh khi làm nhiều giá trị cùng lúc.
    • T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".