Blog

Chiến lược giải quyết bài toán Hàm bậc bốn: y = ax⁴ + bx² + c (a ≠ 0) – Hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 12

T
Tác giả
6 phút đọc
Chia sẻ:
7 phút đọc

1. Giới thiệu về bài toán hàm bậc bốn và tầm quan trọng

Hàm bậc bốn dạngy=ax4+bx2+cy = ax^4 + bx^2 + c, vớia0a \neq 0là một dạng hàm số đặc biệt thường xuyên xuất hiện trong chương trình toán lớp 12. Loại hàm này không chỉ là cầu nối quan trọng giữa hàm bậc hai và các hàm số bậc cao hơn mà còn có nhiều ứng dụng trong các bài toán khảo sát sự biến thiên, cực trị, tính đơn điệu cũng như trong các đề thi THPT Quốc gia và đại học.

2. Đặc điểm của bài toán hàm bậc bốn:y=ax4+bx2+cy = ax^4 + bx^2 + c

- Luôn đối xứng qua trụcOyOyvì các số mũ củaxx đều chẵn.

- Tập xác định:extdomy=Rext{dom} y = \mathbb{R}.

- Parabol bậc hai dạngy=aX2+bX+cy = aX^2 + bX + cchuyển thànhy=a(x2)2+bx2+cy = a(x^2)^2 + b x^2 + c– tức là hàm bậc bốn là hàm chẵn.

- Yếu tố cực trị và tính đơn điệu được xác định qua đạo hàm cấp 1, cấp 2.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Khi gặp bài toán liên quan đến hàm số y=ax4+bx2+cy = ax^4 + bx^2 + c, bạn nên bám sát các bước sau:

  • Xác định tập xác định, tính đối xứng, nhận xét sơ bộ về hình dạng đồ thị.
  • Tính đạo hàm cấp 1y=4ax3+2bxy' = 4ax^3 + 2bx để xét tính đơn điệu, tìm điểm cực trị.
  • Lập bảng biến thiên.
  • Khảo sát và vẽ đồ thị nếu cần.
  • Với từng dạng bài có đặc thù, áp dụng phương pháp phù hợp: giải phương trình, xét dấu đạo hàm, tính giá trị lớn nhất nhỏ nhất…
  • 4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

    Xét ví dụ cụ thể sau:

    Cho hàm số y=x42x2+3y = x^4 - 2x^2 + 3. Hãy:

  • Khảo sát sự biến thiên và tìm cực trị của hàm số.
  • Vẽ bảng biến thiên.
  • Bước 1: Xác định tập xác định và tính chẵn lẻ

    Hàm xác định với mọixRx \in \mathbb{R}. Đặtf(x)=(x)42(x)2+3=x42x2+3=f(x)f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + 3 = x^4 - 2x^2 + 3 = f(x). Vậy hàm là hàm chẵn, đồ thị đối xứng qua trụcOyOy.

    Bước 2: Tính đạo hàm cấp 1 và tìm điểm tới hạn

    y=4x34xy' = 4x^3 - 4x. Tìm nghiệmy=0y' = 0:

    4x34x=4x(x21)=0x=0;x=±14x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 0 \Leftrightarrow x = 0; x = \pm 1

    Bước 3: Xét dấu đạo hàm để khảo sát sự biến thiên

    Xét dấuy=4x(x21)=4x(x1)(x+1)y' = 4x(x^2-1) = 4x(x-1)(x+1):

    - Lập bảng sau:

    |xx|-\infty|1-1|00|11|++\infty|
    |---------|----------|------------|---------|---------|----------|
    |yy'| + | 0 | - | 0 | + |
    |yy|++\infty| 4 | 3 | 2 |++\infty|

    - Kết luận: Hàm số tăng trên(,1)(-\infty, -1)(1,+)(1, +\infty); giảm trên(1,0)(-1, 0)(0,1)(0, 1).

    Bước 4: Tìm giá trị tại các điểm tới hạn

    Tính các giá trị:y(1)=12+3=2y(-1) = 1-2+3=2;y(0)=00+3=3y(0)=0-0+3=3;y(1)=12+3=2y(1)=1-2+3=2.

    Bước 5: Kết luận về cực trị

    - Tạix=1x = -1x=1x = 1, hàm đạt cực tiểuy=2y = 2.
    - Tạix=0x = 0, hàm đạt cực đạiy=3y = 3.

    5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

  • Đạo hàm bậc nhất:y=4ax3+2bxy' = 4ax^3 + 2bx
  • Dạng hàm bậc hai ẩnx2x^2: đặtt=x2t = x^2 để chuyển bài toán về hàm bậc hai.
  • Bảng biến thiên: xác định chiều biến thiên qua dấu đạo hàm.
  • Tìm cực trị: giải phương trìnhy=0y' = 0.
  • Nhận xét đối xứng: nếu hệ số bậc lẻ bằng 0, hàm là hàm chẵn, đồ thị đối xứng trụcOyOy.
  • 6. Các biến thể và cách điều chỉnh chiến lược

  • Biến thể tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất trên đoạn: Thực hiện thêm kiểm tra giá trị tại biên đoạn.
  • Phương trình bậc bốn trùng phươngax4+bx2+c=0ax^4 + bx^2 + c = 0: Đặtt=x2t = x^2 để giải như phương trình bậc hai.
  • Bài toán đồ thị cắt trục: Giảiax4+bx2+c=0ax^4 + bx^2 + c = 0, chú ý kiểm tra nghiệm âm để sàng lọc giá trị xxhợp lý.
  • 7. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

    Bài tập: Khảo sát hàm số y=2x43x2+1y = 2x^4 - 3x^2 + 1.

  • B1: Tính đạo hàmy=8x36xy' = 8x^3 - 6x.
  • B2: Giải y=08x36x=0x=0;x=±34=±32y' = 0 \Leftrightarrow 8x^3 - 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0; x = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}.
  • B3: Lập bảng biến thiên, đánh dấu chiều tăng giảm và giá trị yytại các điểm tìm được:
  • Tính yy tại các điểm:
    y(0)=1;y(32)=2(34)2334+1=291694+1=9894+1=98+1=18y(0)=1; y\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 2\left(\frac{3}{4}\right)^2 -3 \cdot \frac{3}{4}+1= 2 \cdot \frac{9}{16} - \frac{9}{4} +1 = \frac{9}{8} - \frac{9}{4} + 1 = -\frac{9}{8} + 1 = -\frac{1}{8}

    Do hàm chẵn nên y(32)=y(32)y(\frac{\sqrt{3}}{2}) = y(-\frac{\sqrt{3}}{2}).
    Khi đó, hai điểm cực tiểu: x=±32,y=18x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}, y = -\frac{1}{8}, điểm cực đại x=0,y=1x=0,y=1.

    8. Bài tập thực hành

    - Khảo sát sự biến thiên và tìm cực trị của hàm số:
    1)y=x4+2x21y = -x^4 + 2x^2 - 1
    2)y=0.5x4x2+4y = 0.5x^4 - x^2 + 4
    3)y=x4+4x2+2y = x^4 + 4x^2 + 2
    - Tìm GTLN, GTNN của hàmy=x44x2+5y = x^4 - 4x^2 + 5trên đoạn[3,2][-3,2].

    9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

  • Luôn kiểm tra tính chẵn lẻ để giảm bớt số lượng phép toán.
  • Chuyển phương trình trùng phương về phương trình bậc hai vớit=x2t = x^2 để giải nhanh.
  • Khi tìm cực trị, nhớ kiểm tra bản chất (cực đại, cực tiểu) bằng dấu đạo hàm trước và sau điểm tới hạn.
  • Nếu khảo sát trên đoạn, phải so sánh cả với giá trị ở hai đầu đoạn!
  • Luôn chú ý kết quả x2=t0x^2 = t \geq 0khi chuyển ẩn!
  • T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".