Chiến Lược Giải Bài Toán Hàm Chi Phí Cận Biên – Hướng Dẫn Toàn Diện Cho Học Sinh Lớp 12

1. Giới thiệu về bài toán hàm chi phí cận biên

Bài toán hàm chi phí cận biên là một trong những vấn đề quen thuộc trong chương trình Toán 12, đặc biệt liên quan tới ứng dụng của tích phân trong kinh tế và thực tiễn sản xuất. Hàm chi phí cận biên biểu diễn tốc độ tăng của tổng chi phí khi sản lượng tăng thêm một đơn vị, đóng vai trò lớn trong phân tích và tối ưu hóa chi phí sản xuất. Việc hiểu "cách giải bài toán hàm chi phí cận biên" giúp học sinh rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức giải tích trong các bài toán ứng dụng thực tế, đồng thời phát triển tư duy kinh tế căn bản.

2. Đặc điểm của bài toán hàm chi phí cận biên

• Thông thường đề bài cho biết hàm chi phí cận biên$C'(x)$,$x$là số sản phẩm sản xuất.
• Có thể cho thêm chi phí cố định hoặc tổng chi phí khi sản xuất một số lượng cụ thể.
• Yêu cầu: Tìm chi phí sản xuất một số đơn vị nhất định, tính tổng chi phí, xác định chi phí thêm khi sản xuất thêm sản phẩm,…

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận bài toán

1. Nhận diện hàm chi phí cận biên$C'(x)$và các dữ kiện về tổng chi phí.
2. Vận dụng kiến thức về đạo hàm, nguyên hàm và tích phân.
3. Lập phương trình liên hệ tổng chi phí với chi phí cận biên bằng tích phân.
4. Áp dụng các công thức tính nguyên hàm, sử dụng điều kiện đề bài cho để tìm hằng số.
5. Trả lời câu hỏi riêng biệt của bài toán (tính tổng chi phí, chi phí sản xuất thêm, v.v.).

4. Các bước giải chi tiết cùng ví dụ minh họa

● Bước 1: Xác định đề bài yêu cầu và nhận diện các dữ kiện (hàm$C'(x)$, chi phí ban đầu, …).

● Bước 2: Thiết lập công thức tổng quát của hàm tổng chi phí bằng cách lấy nguyên hàm (hoặc tích phân) hàm chi phí cận biên:

$C(x) = \int C'(x) dx + C_0$

● Bước 3: Sử dụng các điều kiện đề bài cung cấp để tìm hằng số $C_0$.

● Bước 4: Trả lời các câu hỏi riêng của đề bài dựa vào hàm$C(x)$vừa xây dựng.

Ví dụ minh họa:

Đề bài: Hàm chi phí cận biên của một công ty là $C'(x) = 5x^2 + 3x + 8$(triệu đồng), biết chi phí sản xuất 2 sản phẩm là 30 triệu đồng. Tính tổng chi phí sản xuất 5 sản phẩm.

1. Tính nguyên hàm của$C'(x)$:
2. $C(x) = \int (5x^2 + 3x + 8)dx = \frac{5}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 8x + C_0$
3. Thay$x = 2$vào$C(x)$và lấy$C(2) = 30$ để tìm$C_0$:
   
   $$C(2) = \frac{5}{3} \times 8 + \frac{3}{2} \times 4 + 8 \times 2 + C_0 = 30 \\$$
   \frac{40}{3} + 6 + 16 + C_0 = 30 \\
   \frac{40}{3} + 22 + C_0 = 30 \\C_0 = 30 - (\frac{40}{3} + 22) = 30 - \frac{106}{3} = -\frac{16}{3}
4. Suy ra hàm tổng chi phí:$C(x) = \frac{5}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 8x - \frac{16}{3}$
5. Tính$C(5)$:
   
   $$C(5) = \frac{5}{3} \times 125 + \frac{3}{2} \times 25 + 8 \times 5 - \frac{16}{3} \\$$
   = \frac{625}{3} + \frac{75}{2} + 40 - \frac{16}{3} \\
   = \frac{625-16}{3} + 37.5 + 40 \\
   = \frac{609}{3} + 77.5 \\
   = 203 + 77.5 = 280.5
   
   Vậy tổng chi phí sản xuất 5 sản phẩm là 280.5 triệu đồng.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Công thức tính tổng chi phí từ chi phí cận biên:
  $C(x) = \int C'(x)dx + C_0$
• Tính chi phí sản xuất thêm$k$sản phẩm:
  $C(b) - C(a) = \int_{a}^{b} C'(x)dx$
• Các công thức nguyên hàm cơ bản:
  
  $$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \ (n \neq -1) \\$$
  \int a dx = ax + C \\
  \int (f(x) + g(x))dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx
• Cách tìm hằng số $C_0$bằng dữ kiện đề bài: Thường sử dụng$C(x_0) = C_0$với$x_0$và $C(x_0)$ đã biết.

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

• Tìm chi phí để sản xuất thêm từ $x_1$ đến$x_2$sản phẩm:$C(x_2) - C(x_1) = \int_{x_1}^{x_2} C'(x) dx$
• Bài toán yêu cầu tìm hàm tổng chi phí khi$C'(x)$là biểu thức có chứa logarit, hàm mũ: Áp dụng công thức nguyên hàm tương ứng.
• Khi C'(x) là bảng số liệu: Sử dụng phương pháp xấp xỉ tổng từng đoạn.
• Tìm các giá trị đặc biệt như chi phí trung bình, chi phí biên, sản lượng tối ưu cần lưu ý đề bài có thêm ràng buộc khác.

7. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập: Cho hàm chi phí cận biên$C'(x) = 4x + 10$(triệu đồng), biết để sản xuất 1 sản phẩm cần 20 triệu đồng. Hỏi để sản xuất 6 sản phẩm cần tổng chi phí là bao nhiêu?

1. Tìm nguyên hàm của$C'(x)$:
   $C(x) = \int (4x+10) dx = 2x^2 + 10x + C_0$
2. Sử dụng$C(1) = 20$:
   $C(1) = 2 \times 1^2 + 10 \times 1 + C_0 = 2 + 10 + C_0 = 12 + C_0 = 20 \implies C_0 = 8$
3. Hàm tổng chi phí:$C(x) = 2x^2 + 10x + 8$
4. Vậy$C(6) = 2 \times 36 + 10 \times 6 + 8 = 72 + 60 + 8 = 140$triệu đồng.

8. Bài tập thực hành

• Bài 1: Hàm chi phí cận biên là $C'(x) = 3x^2 + 7x + 5$, biết chi phí sản xuất 0 sản phẩm là 10 triệu đồng. Hỏi để sản xuất 4 sản phẩm cần bao nhiêu triệu đồng?
• Bài 2: Cho$C'(x) = 4e^x$, biết$C(0) = 12$. Tìm tổng chi phí sản xuất 2 sản phẩm.
• Bài 3: Hàm chi phí cận biên là $C'(x) = \ln(x + 1) + 2$, biết$C(1) = 5$. Hỏi tổng chi phí sản xuất 5 sản phẩm là bao nhiêu?

9. Mẹo và lưu ý khi giải bài toán hàm chi phí cận biên

• Luôn kiểm tra đơn vị của các đại lượng (triệu đồng, nghìn đồng, sản phẩm…).
• Xác định rõ dữ kiện ban đầu để lấy đúng điều kiện tìm hằng số.
• Chú ý phân biệt giữa "tổng chi phí" và "chi phí phát sinh thêm".
• Nếu đề bài hỏi chi phí sản xuất thêm, dùng công thức tích phân xác định trên đoạn$[a, b]$.
• Cẩn thận trong các phép tính phân số và chuyển đổi đơn vị.