Chiến lược giải bài toán Hàm chi phí cận biên lớp 12: Hướng dẫn toàn diện kèm ví dụ minh họa chi tiết

1. Giới thiệu về bài toán hàm chi phí cận biên

Bài toán về hàm chi phí cận biên là một dạng bài toán ứng dụng giải tích, thường xuất hiện trong chương IV (Nguyên hàm - Tích phân) Toán 12, đặc biệt các đề luyện thi THPT Quốc gia. Mục tiêu là tìm các hàm số chi phí, chi phí cận biên (MC) hoặc giải quyết các bài toán thực tế về chi phí sản xuất. Loại bài này giúp học sinh hiểu cách áp dụng toán học vào hoạch định sản xuất, ước lượng chi phí và tối ưu hóa kinh tế.

2. Đặc điểm nhận dạng bài toán hàm chi phí cận biên

• Có dữ kiện về hàm chi phí cận biên hoặc hàm chi phí tổng ($C'(x)$hoặc$C(x)$), số lượng sản phẩm ($x$), chi phí cố định hoặc giá trị ban đầu.
• Yêu cầu tính hàm chi phí tổng, chi phí để sản xuất thêm một hoặc nhiều đơn vị sản phẩm.
• Dùng kiến thức nguyên hàm và tích phân.

3. Chiến lược tổng thể để giải bài toán

Dưới đây là chiến lược chung khi gặp các bài toán hàm chi phí cận biên:

• Phân tích đề: Nhận diện các đại lượng (hàm chi phí, sản lượng, chi phí ban đầu…).
• Viết biểu thức chi phí cận biên$C'(x)$(nếu chưa có).
• Tìm hàm chi phí tổng$C(x)$bằng cách lấy nguyên hàm của$C'(x)$.
• Xác định hằng số $C_0$bằng điều kiện ban đầu.
• Tính toán giá trị cần tìm (chi phí sản xuất, chi phí tăng thêm, v.v.) bằng thay số vào$C(x)$.

4. Các bước giải chi tiết kèm ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm hàm chi phí tổng từ hàm chi phí cận biên

Đề bài: Giả sử chi phí cận biên khi sản xuất$x$sản phẩm là $C'(x) = 3x^2 + 2x + 5$(triệu đồng). Biết chi phí cố định (chi phí khi chưa sản xuất sản phẩm nào) là 10 triệu đồng. Hãy lập hàm chi phí tổng$C(x)$.

• Bước 1: Tìm nguyên hàm của$C'(x)$. Ta có:$C(x) = \frac{3}{3}x^3 + \frac{2}{2}x^2 + 5x + C_0 = x^3 + x^2 + 5x + C_0$
• Bước 2: Xác định$C_0$bằng điều kiện$C(0) = 10$triệu đồng:
• $C(0) = 0 + 0 + 0 + C_0 = 10 \rightarrow C_0 = 10$
• Bước 3: Vậy hàm chi phí tổng cần tìm là $C(x) = x^3 + x^2 + 5x + 10$(triệu đồng).

Ví dụ 2: Tính chi phí sản xuất thêm sản phẩm

Đề bài: Chi phí cận biên là $C'(x) = 2x + 1$(triệu đồng). Biết chi phí sản xuất 5 sản phẩm là $C(5) = 43$triệu đồng. Tính chi phí sản xuất 10 sản phẩm.

• Bước 1: Tìm nguyên hàm$C(x) = x^2 + x + C_0$
• Bước 2: Thay$x = 5$:$C(5) = 25 + 5 + C_0 = 43 \Rightarrow C_0 = 43 - 30 = 13$
• Bước 3: Hàm chi phí tổng$C(x) = x^2 + x + 13$
• Bước 4:$C(10) = 100 + 10 + 13 = 123$triệu đồng.

5. Công thức, kỹ thuật cần nhớ

• Nguyên hàm cơ bản:$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$($n \neq -1$)
• Từ $C'(x) \Rightarrow C(x) = \int C'(x) dx + C_0$
• Nếu biết$C(x_0)$→ dùng để tìm$C_0$.
• Muốn tính chi phí tăng thêm khi sản xuất từ $a$ đến$b$sản phẩm:$C(b) - C(a) = \int_{a}^{b} C'(x)dx$

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

• Cho chi phí cận biên, hỏi chi phí để sản xuất thêm sản phẩm: Áp dụng$C(b) - C(a) = \int_{a}^{b} C'(x) dx$.
• Cho chi phí để sản xuất một lượng sản phẩm nhất định, hỏi chi phí cố định: Lập phương trình với$C(a) =...$và giải tìm$C_0$.
• Có thể cho hàm chi phí tổng, hỏi chi phí cận biên tại điểm$x$(tính đạo hàm).
• Các câu hỏi ngược về mối quan hệ giữa các đại lượng: cần phân tích dựa vào định nghĩa chi phí tổng, chi phí cận biên.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết từng bước

Bài tập: Chi phí sản xuất cận biên cho biết bởi hàm$C'(x) = x^2 - 2x + 7$(đơn vị triệu đồng), biết chi phí để sản xuất 2 sản phẩm là 12 triệu đồng. Hãy lập hàm chi phí tổng và tính chi phí sản xuất 5 sản phẩm.

Giải:

• Tìm nguyên hàm:$C(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + 7x + C_0$
• Cho$C(2) = 12$:$C(2) = \frac{8}{3} - 4 + 14 + C_0 = \frac{8}{3} + 10 + C_0 = 12$
• Giải ra$C_0 = 12 - 10 - \frac{8}{3} = 2 - \frac{8}{3} = -\frac{2}{3}$
• Hàm chi phí tổng:$C(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + 7x - \frac{2}{3}$
• Chi phí sản xuất 5 sản phẩm:
  
  C(5) = \frac{125}{3} - 25 + 35 - \frac{2}{3} = (\frac{125 - 2}{3}) + 10 = \frac{123}{3} + 10 = 41 + 10 = 51\;\\\text{(triệu đồng)}

8. Bài tập tự luyện

• Bài 1: Hàm chi phí cận biên là $C'(x) = 2x + 4$, biết chi phí sản xuất 1 sản phẩm là 9 triệu đồng. Hãy lập hàm chi phí tổng và tính chi phí sản xuất 4 sản phẩm.
• Bài 2: Khi biết chi phí sản xuất 3 sản phẩm là 20 triệu đồng và $C'(x) = x^2 + 3$, hãy lập hàm chi phí tổng và tính chi phí sản xuất 5 sản phẩm.
• Bài 3: Biết chi phí tổng sản xuất 0 sản phẩm là 15 triệu đồng và $C'(x) = 4x + 1$, tính chi phí để sản xuất từ sản phẩm thứ 2 đến thứ 5.

9. Mẹo & lưu ý để tránh sai lầm khi giải bài toán hàm chi phí cận biên

• Luôn thêm hằng số $C_0$khi tìm nguyên hàm, không được bỏ sót.
• Đọc kĩ dữ kiện, tránh nhầm lẫn giữa chi phí tổng, chi phí cận biên, chi phí cố định.
• Viết công thức, thay số cẩn thận, đặc biệt với các phép tính nguyên hàm, tích phân.
• Nhớ rằng$C'(x)$là đạo hàm của$C(x)$và $C(x)$là nguyên hàm của$C'(x)$.
• Với bài toán “chi phí sản xuất thêm”, chú ý dùng tích phân xác định trên đoạn cần tính.
• Kiểm tra lại đơn vị kết quả (triệu đồng, nghìn đồng, v.v.).