Chiến lược giải bài toán Hàm chi phí cận biên lớp 12: Phân tích, ví dụ và bài tập

1. Giới thiệu về bài toán Hàm chi phí cận biên

Bài toán về hàm chi phí cận biên là một phần quan trọng trong các bài toán ứng dụng tích phân của Giải tích lớp 12, thường gặp trong chương IV (Nguyên hàm – Tích phân và Ứng dụng). Đây là kiểu bài toán thực tế giúp học sinh vận dụng kiến thức toán học vào các lĩnh vực kinh tế và sản xuất, góp phần phát triển khả năng tư duy logic, phân tích vấn đề và kỹ năng giải quyết bài toán thực tiễn.

2. Đặc điểm của bài toán về hàm chi phí cận biên

Đặc điểm nhận diện của dạng toán này:

• Có xuất hiện khái niệm “chi phí cận biên” (thường ký hiệu là $C'(x)$hoặc$MC(x)$).
• Yêu cầu xác định tổng chi phí sản xuất$C(x)$dựa vào hàm chi phí cận biên và một giá trị khởi đầu$C(x_0)$.
• Đôi khi bài toán hỏi số chi phí cần thêm khi “tăng lượng sản phẩm từ $a$ đến$b$”.
• Yêu cầu sử dụng nguyên hàm (hoặc tích phân xác định) để tính tổng chi phí hoặc mức chi phí tăng thêm.

3. Chiến lược tổng thể khi tiếp cận bài toán

Để giải tốt dạng toán này, bạn cần nắm vững các bước sau:

1. Xác định đúng yêu cầu đề bài (tìm$C(x)$,$C(a)$,$C(b)$,$C(b)-C(a)$, hay$C'(x)$tại một điểm…).
2. Xác định hàm chi phí cận biên$C'(x)$ đã cho và điều kiện ban đầu$C(x_0)$.
3. Tìm hàm chi phí tổng$C(x)$bằng cách lấy nguyên hàm của$C'(x)$.
4. Tìm hằng số $C$bằng cách thay điều kiện ban đầu vào hàm vừa tìm được.
5. Nếu tìm chi phí tăng thêm trong đoạn$[a; b]$, sử dụng tích phân xác định:$C(b)-C(a) = \int_{a}^{b} C'(x) dx$.

4. Các bước giải chi tiết và ví dụ minh họa

Hãy cùng làm ví dụ sau để minh họa cách giải từng bước.

Ví dụ: Cho hàm chi phí cận biên của một xí nghiệp là $C'(x) = x^2 + 2x + 1$(nghìn đồng/sản phẩm). Biết rằng để sản xuất 2 sản phẩm, chi phí là 9 nghìn đồng. Tìm hàm chi phí tổng$C(x)$.

Giải:

1. $C'(x) = x^2 + 2x + 1$
2. Tìm nguyên hàm của$C'(x)$:
3. $C(x) = \int (x^2 + 2x + 1) dx = \frac{x^3}{3} + x^2 + x + C_0$
4. Áp dụng điều kiện$C(2) = 9$:
5. $C(2) = \frac{8}{3} + 4 + 2 + C_0 = 9 \Rightarrow \frac{8}{3} + 6 + C_0 = 9 \Rightarrow C_0 = 9 - \frac{8}{3} - 6 = 9 - 6 - \frac{8}{3} = 3 - \frac{8}{3} = \frac{9-8}{3} = \frac{1}{3}$
6. Vậy hàm chi phí tổng:$C(x) = \frac{x^3}{3} + x^2 + x + \frac{1}{3}$

Nếu yêu cầu tính chi phí tăng thêm khi sản lượng tăng từ $a$ đến$b$, ta dùng:

C(b) - C(a) = \int_{a}^{b} C'(x) dx

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Nếu biết$C'(x)$(chi phí cận biên) thì $C(x) = \int C'(x) dx$(lấy nguyên hàm).
• Nếu biết$C'(x)$cùng điều kiện$C(x_0)$, thì cần thay$x_0$vào hàm$C(x)$vừa tìm được để xác định hằng số.
• Để tính chi phí phát sinh khi sản lượng tăng từ $a$tới$b$:$C(b) - C(a) = \int_{a}^{b} C'(x) dx$
• Tích phân của một đa thức được tính bằng công thức:$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$(với$n \neq -1$)

6. Các biến thể thường gặp và điều chỉnh chiến lược

• Nếu$C'(x)$là hàm mũ, hàm logarit hoặc phân thức, cần sử dụng bảng nguyên hàm mở rộng.
• Nếu$C'(x)$thay đổi dạng theo từng khoảng ($x<k$hoặc$x \geq k$), cần chia bài toán ra từng khoảng, giải riêng rồi ghép lại.
• Nếu hỏi “để chi phí tăng thêm một lượng$A$thì cần tăng bao nhiêu sản phẩm?”→ đặt$C(b) - C(a) = A$, rồi giải tìm$b$hoặc$a$.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập mẫu 1:

Một nhà máy sản xuất mặt hàng có hàm chi phí cận biên là $C'(x) = 5x^2 + 10$, chi phí sản xuất 1 sản phẩm là 30 (ngàn đồng). Hỏi chi phí sản xuất 5 sản phẩm là bao nhiêu?

1. - Tìm nguyên hàm:$C(x) = \int (5x^2 + 10)dx = \frac{5}{3}x^3 + 10x + C_0$
2. - Điều kiện:$C(1) = 30$:$C(1) = \frac{5}{3} + 10 + C_0 = 30 \Leftrightarrow C_0 = 30 - \frac{5}{3} - 10 = 30 - 10 - \frac{5}{3} = 20 - \frac{5}{3} = \frac{60 - 5}{3} = \frac{55}{3}$
3. - Vậy$C(x) = \frac{5}{3}x^3 + 10x + \frac{55}{3}$
4. -$C(5)=\frac{5}{3} \cdot 125 + 10 \cdot 5 + \frac{55}{3} = \frac{625}{3} + 50 + \frac{55}{3} = \frac{625+55}{3} + 50 = \frac{680}{3} + 50$
5. - Tổng chi phí:$C(5) = \frac{680}{3} + 50 = \frac{680+150}{3} = \frac{830}{3} \approx 276.67$(ngàn đồng).

Bài tập mẫu 2:

Với$C'(x) = 2x + 1$, biết$C(0)=10$. Hãy tính chi phí tăng thêm khi sản lượng tăng từ 2 lên 5 sản phẩm.

1. -$C(b) - C(a) = \int_{2}^{5} (2x+1) dx$
2. - Nguyên hàm:$\int (2x + 1) dx = x^2 + x$
3. - Tính:$C(5) - C(2) = [x^2 + x]_{2}^{5} = (25 + 5) - (4 + 2) = 30 - 6 = 24$(đơn vị tuỳ đề).

8. Bài tập thực hành

• 1) Cho$C'(x) = 4x + 2$, biết$C(1) = 10$. Hãy tìm$C(x)$.
• 2) Dùng$C'(x) = 3x^2 + x$,$C(0)=5$, tính chi phí để sản xuất 4 sản phẩm.
• 3) Cho$C'(x) = 2x + 3$, biết$C(2) = 15$. Tính chi phí tăng thêm khi sản lượng tăng từ 3 lên 6 sản phẩm.

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

• Nhớ thêm hằng số $C_0$khi lấy nguyên hàm để không bỏ lỡ điều kiện đề bài.
• Chú ý phân biệt bài hỏi$C(x)$(chi phí tổng) với$C'(x)$(chi phí cận biên).
• Khi tính tổng chi phí tăng thêm$C(b) - C(a)$chỉ cần lấy tích phân xác định, không nhất thiết tìm hằng số $C_0$.
• Kiểm tra kỹ đơn vị tính (nghìn đồng, triệu đồng, số sản phẩm, v.v.)
• Chú ý đạo hàm ngược và tính toán hằng số dễ sai nếu không cẩn thận.