Chiến lược giải bài toán Hàm chi phí lớp 12 – Hướng dẫn toàn diện và ví dụ minh họa

1. Giới thiệu bài toán Hàm chi phí và tầm quan trọng

Bài toán hàm chi phí là dạng bài thường gặp trong chương trình Toán lớp 12, đặc biệt ở chuyên đề Giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của hàm số, ứng dụng vào thực tế (như tính toán chi phí sản xuất, giá thành hợp lý nhất, tối ưu hóa tài nguyên...). Việc hiểu rõ cách giải bài toán hàm chi phí không chỉ giúp học sinh nâng cao điểm số mà còn rèn luyện tư duy phân tích và ứng dụng vào thực tiễn kinh tế, kỹ thuật.

2. Đặc điểm của bài toán hàm chi phí

• Bài toán có mô tả thực tế (sản xuất, xây lắp, vận chuyển...)
• Biểu diễn mối liên quan giữa các biến (sản lượng, giá thành, nguyên vật liệu...) dưới dạng các hàm số
• Mục tiêu: tìm giá trị nhỏ nhất của hàm chi phí, hoặc tìm điều kiện để hàm đạt cực trị
• Thường có ràng buộc (điều kiện thực tế: diện tích, thể tích, giới hạn về nguồn lực)

3. Chiến lược tổng thể để giải bài toán hàm chi phí

Các bước tiếp cận cơ bản khi giải bất kỳ bài toán hàm chi phí nào:

4. Các bước giải cụ thể – Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một nhà máy sản xuất một loại sản phẩm có hàm chi phí sản xuất mỗi sản phẩm là $C(x) = ax^2 + bx + c$, trong đó $x$là số sản phẩm (nghìn sản phẩm),$a > 0$. Tìm$x$ để chi phí sản xuất trung bình trên mỗi sản phẩm nhỏ nhất.

Bước 1: Hiểu bài toán, xác định ẩn số

Gọi$x$là số sản phẩm (nghìn sản phẩm) sản xuất.

Bước 2: Biểu diễn hàm chi phí trung bình

Chi phí trung bình trên mỗi sản phẩm là:

$A(x) = \frac{C(x)}{x} = a x + b + \frac{c}{x}$(với$x > 0$)

Bước 3: Tìm cực trị của hàm chi phí trung bình

Xét hàm$A(x)$trên khoảng$x > 0$. Tính đạo hàm:

$A'(x) = a - \frac{c}{x^2}$

Cho $A'(x) = 0 \rightarrow a - \frac{c}{x^2} = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{c}{a} \Rightarrow x = \sqrt{\frac{c}{a}}$

Đây là điểm ứng với chi phí trung bình nhỏ nhất (vì $A(x)$là hàm bậc nhất nghịch đảo,$a > 0$).

Bước 4: Kết luận và trả lời

Số sản phẩm để chi phí trung bình nhỏ nhất là $x = \sqrt{\frac{c}{a}}$ (nghìn sản phẩm).

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Tính đạo hàm:$f'(x) = 0$ để tìm điểm cực trị.
• Đối với hàm chi phí trung bình$A(x) = \frac{C(x)}{x}$, thường dùng đạo hàm riêng$A'(x) = \frac{C'(x) x - C(x)}{x^2}$.
• Kiểm tra điều kiện thực tế:$x > 0$,$x$là số nguyên nếu có yêu cầu.
• Luôn nhớ kiểm tra giá trị tại biên (đầu và cuối đoạn) nếu bài toán có giới hạn về biến.

6. Những biến thể phổ biến và điều chỉnh chiến lược

• Bài toán có điều kiện phụ (ví dụ: tổng diện tích/chi phí cố định/giới hạn về sản lượng): Giải hệ điều kiện để đưa hàm chi phí về một biến.
• Hàm chi phí có thể là hàm đa biến – cần dùng điều kiện ràng buộc để chuyển hết về một biến duy nhất.
• Tối thiểu hóa/tối đa hóa tổng chi phí, chi phí trung bình, lợi nhuận, v.v.
• Một số bài toán phức tạp yêu cầu xét cả giá trị tại các giá trị biên của biến.

7. Bài tập mẫu – Lời giải chi tiết từng bước

Bài toán: Một bể nước không nắp hình hộp chữ nhật có thể tích$32 m^3$. Chi phí làm đáy bằng$400.000$ đồng/$m^2$, làm các mặt bên là $200.000$ đồng/$m^2$. Tìm kích thước đáy để bể có tổng chi phí xây dựng nhỏ nhất.

Bước 1: Đặt ẩn và phân tích bài toán

Gọi$x$(m) là cạnh chiều dài đáy,$y$(m) là cạnh chiều rộng đáy,$h$(m) là chiều cao.

Bước 2: Biểu diễn các điều kiện ràng buộc

Ta có $xyh = 32 \to h = \frac{32}{xy}$.

Bước 3: Thiết lập hàm chi phí cần tối ưu

Tổng chi phí (C, đơn vị: nghìn đồng):

$C = 400xy + 200 \times 2(xh + yh)$

$= 400xy + 400xh + 400yh$

Thay$h = \frac{32}{xy}$, ta được:

$C = 400xy + 400x \frac{32}{xy} + 400y \frac{32}{xy} = 400xy + \frac{12800}{y} + \frac{12800}{x}$

Bước 4: Đưa về hàm một biến nhờ điều kiện tối ưu (x = y)

Do chi phí phụ thuộc đối xứng vào$x$và $y$, chi phí tối thiểu tại$x = y$.

Với $xy = S \to x = y = \sqrt{S}$, mà $h = 32/S$.

Tối ưu với$x = y$, ta chuyển$C$về một biến$x$:

$C(x) = 400x^2 + \frac{25600}{x}$

Lấy đạo hàm$C'(x) = 800x - \frac{25600}{x^2}$

Đặt$C'(x) = 0 \to 800x - \frac{25600}{x^2} = 0 \rightarrow 800x^3 = 25600 \rightarrow x^3 = 32 \rightarrow x = 2$(m).

Vậy$x = y = 2$m,$h = 8$m.

Kích thước đáy cần chọn là $2m \times 2m$, chiều cao$8m$ để chi phí nhỏ nhất.

8. Bài tập thực hành

• Bài 1: Một doanh nghiệp có hàm chi phí sản xuất$C(x) = 2x^2 + 120x + 4000$,$x$là số sản phẩm. Tìm$x$ để chi phí trung bình trên mỗi sản phẩm là nhỏ nhất.
• Bài 2: Một bể nước hình hộp không nắp đáy vuông, thể tích$50 m^3$. Biết làm đáy hết 300.000 đồng/$m^2$, làm thành bên hết 150.000 đồng/$m^2$. Tìm cạnh đáy để tổng chi phí là nhỏ nhất.

9. Mẹo, lưu ý và lỗi sai phổ biến cần tránh

• Suy nghĩ kỹ chọn ẩn số đại diện cho đại lượng cần tìm – tránh chọn quá nhiều ẩn không cần thiết.
• Luôn sử dụng đầy đủ các điều kiện ràng buộc của bài toán.
• Kiểm tra khoảng xác định, ràng buộc thực tế (các đại lượng phải dương, hợp lý với thực tế).
• Khi lấy đạo hàm, nhớ kiểm tra biên nếu khoảng xác định bị giới hạn.
• Kết luận rõ ràng, trả lời sát nội dung yêu cầu.