1. Giới thiệu về các bài toán hàm logarit và tầm quan trọng

Bài toán về hàm logarit là một trong những chủ đề trọng tâm trong chương trình Toán lớp 12 và các kỳ thi quan trọng như thi THPT Quốc gia. Hàm logarit không chỉ là công cụ giải quyết các bài toán đại số phức tạp mà còn xuất hiện nhiều trong thực tế, ứng dụng trong khoa học, kỹ thuật, kinh tế... Việc nắm vững cách giải bài toán hàm logarit giúp học sinh củng cố kỹ năng Toán, tư duy logic, tự tin xử lý nhiều tình huống toán học đa dạng.

2. Đặc điểm của bài toán hàm logarit lớp 12

• Khả năng xuất hiện ở nhiều dạng bài: tính giá trị biểu thức, giải phương trình, bất phương trình, khảo sát hàm số.
• Bài toán thường đòi hỏi đặt điều kiện xác định, sử dụng các công thức biến đổi logarit, khai thác tính chất đơn điệu, tương giao đồ thị.
• Đề bài có thể kết hợp nhiều kiến thức: căn thức, mũ, logarit, đại số, giải tích.

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận bài toán hàm logarit

1. Đặt điều kiện xác định cho biểu thức logarit/các ẩn số liên quan.
2. Nhận diện loại bài toán: tính giá trị, giải phương trình/bất phương trình, khảo sát hàm số,...
3. Áp dụng công thức và kỹ thuật biến đổi phù hợp: sử dụng tính chất logarit, chuyển đổi sang mũ, tách ghép biểu thức,...
4. Kiểm tra điều kiện xác định của nghiệm (nếu có).

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Dưới đây là các bước chi tiết và ví dụ minh họa cách giải bài toán hàm logarit.

Ví dụ 1: Giải phương trình$\log_{2}(x-1) + \log_{2}(3x-5) = 3$.

1. Bước 1: Đặt điều kiện xác định
   
   
   $$\begin{cases} x-1 > 0 \\ 3x-5 > 0 \\\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 1 \\x > \frac{5}{3} \\\end{cases} \Rightarrow x > \frac{5}{3}$$
   .
2. Bước 2: Áp dụng công thức logarit:
   
   $\log_{a}A + \log_{a}B = \log_{a}(A \cdot B)$
   
   $\Rightarrow \log_{2}[(x-1)(3x-5)] = 3$
3. Bước 3: Chuyển về phương trình mũ:
   
   $\log_{2}[(x-1)(3x-5)] = 3 \Leftrightarrow (x-1)(3x-5) = 2^3 = 8$
4. Bước 4: Giải phương trình bậc hai:
   
   $(x-1)(3x-5) = 8 \Rightarrow 3x^2 - 5x - 3x + 5 - 8 = 0 \Rightarrow 3x^2 - 8x - 3 = 0$
   
   Giải phương trình này:
   $3x^2 - 8x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 36}}{6} = \frac{8 \pm 10}{6}$
   $\Rightarrow x_1 = 3$, $x_2 = -\frac{1}{3}$
   
   Kiểm tra điều kiện xác định, chỉ nhận $x = 3 > \frac{5}{3}$.

Kết luận: Nghiệm của phương trình là $x = 3$.

5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ khi giải bài toán hàm logarit

• $\log_{a}1 = 0, \quad \log_{a}a = 1$
• $\log_{a}(AB) = \log_{a}A + \log_{a}B$
• $\log_{a}\left(\frac{A}{B}\right) = \log_{a}A - \log_{a}B$
• $\log_{a}A^n = n\log_{a}A$
• $a^{\log_{a}A} = A$(với$A>0$)
• Đổi cơ số:$\log_{a}b = \frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}$

6. Các biến thể bài toán và điều chỉnh chiến lược

Các bài toán về hàm logarit có thể xuất hiện ở các dạng sau và cần có chiến lược phù hợp:

• Phương trình logarit: Ghép logarit, sử dụng công thức chuyển đổi, chuyển về phương trình mũ, đặt ẩn phụ.
• Bất phương trình logarit: Xét điều kiện xác định đồng thời giải bất phương trình.
• Chứng minh bất đẳng thức logarit: Dùng tính đơn điệu, so sánh giá trị, đồ thị.
• Tính giá trị biểu thức: Thay số, rút gọn, biến đổi.
• Khảo sát và vẽ đồ thị: Xét từng khoảng xác định, tính tiệm cận, tìm cực trị.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Ví dụ 2: Giải bất phương trình$\log_{2}(x^2 - 5x + 6) > 1$.

1. Bước 1: ĐKXĐ:$x^2 - 5x + 6 > 0 \Leftrightarrow (x-2)(x-3) > 0 \Leftrightarrow x<2$hoặc$x>3$.
2. Bước 2: Giải bất phương trình:
   $\log_{2}(x^2 - 5x + 6) > 1$\Leftrightarrow$x^2 - 5x + 6 > 2^1 = 2$.
   
   $\Rightarrow x^2 - 5x + 4 > 0 \Leftrightarrow (x-4)(x-1) > 0 \Leftrightarrow x<1$hoặc$x>4$.
3. Bước 3: Lấy phần giao hai điều kiện:
   $\begin{cases}<br> x < 2 \\x < 1 \quad \text{(lấy phần giao)}<br>\end{cases} \rightarrow x < 1$
   
   $\begin{cases}<br> x < 2 \\x >4 <br>\end{cases}$ : Không có
   
   $\begin{cases}<br> x>3 \\x<1 <br>\end{cases}$ : Không có
   
   $\begin{cases}<br> x>3 \\x>4 <br>\end{cases} \rightarrow x>4$
   
   Kết luận: $x < 1$ hoặc $x>4$ .
   

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $x<1$hoặc$x>4$.

8. Bài tập thực hành

• Giải phương trình$\log_{3}(x^2 - 2x) = 2$.
• Giải bất phương trình$\log_{5}(2x-1) \leq 1$.
• Rút gọn biểu thức$A = \frac{\log_{a}b + \log_{a}c}{\log_{a}(b \cdot c)}$với$a, b, c > 0$,$a <br>e 1$.

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

• Luôn đặt điều kiện xác định cho các biểu thức logarit, không bỏ sót khi tìm nghiệm.
• Không tách logarit khi chưa đảm bảo các biểu thức đều dương.
• Sau khi tìm nghiệm, phải kiểm tra lại điều kiện xác định.
• Cẩn thận khi áp dụng công thức chuyển đổi cơ số và khai thác tính đơn điệu của hàm logarit.
• Không nhầm lẫn giữa phép cộng logarit và nhân các biểu thức.