Blog

Lớp 12

Chiến Lược Toàn Diện Giải Bài Toán Hàm Phân Thức Bậc Nhất Trên Bậc Nhất: y = (ax + b)/(cx + d)

T
Tác giả
•
•6 phút đọc
Chia sẻ:
6 phút đọc

1. Giới thiệu về bài toán hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất

Bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất với dạng tổng quáty=ax+bcx+dy = \frac{ax + b}{cx + d}là một trong những phần quan trọng và phổ biến trong chương trình Toán lớp 12. Đây là dạng toán thường gặp trong các đề thi THPT Quốc gia và kiểm tra định kỳ, giúp học sinh củng cố kỹ năng khảo sát sự biến thiên, xác định tiệm cận, và vẽ đồ thị hàm số.

2. Đặc điểm của hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất

  • Hàm số có dạngy=ax+bcx+dy = \frac{ax + b}{cx + d}, trong đó c≠0c \neq 0.
  • Tập xác định: D=R∖{−dc}D = \mathbb{R} \setminus \left\{ -\frac{d}{c} \right\}.
  • Đồ thị là một hyperbol.
  • Có hai tiệm cận: một tiệm cận đứngx=−dcx = -\frac{d}{c}và một tiệm cận ngangy=acy = \frac{a}{c}.
  • Không có cực trị nhưng có thể có điểm uốn (tuỳ bài toán nâng cao).
  • Dạng chuẩn tắc giúp nhận diện đồ thị và xác định phương trình đối xứng.

    • 3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

  • Xác định tập xác địnhDDcủa hàm số.
  • Tìm và viết phương trình các tiệm cận đứng và ngang.
  • Xét sự biến thiên (chiều biến thiên, bảng biến thiên).
  • Vẽ đồ thị chính xác các yếu tố đặc trưng.
  • Nhận dạng các điểm đặc biệt (điểm cắt trục, tâm đối xứng, khoảng đồng biến, nghịch biến).

    • 4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

    Giả sử ta cần khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:y=2x−3x+1y = \frac{2x - 3}{x + 1}.

  • Bước 1. Tập xác định: D=R∖{−1}D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}vì x+1≠0x+1 \neq 0.
  • Bước 2. Tiệm cận đứng:x+1=0⇒x=−1x+1=0 \Rightarrow x = -1.
  • Bước 3. Tiệm cận ngang:

    lim⁡x→+∞y=lim⁡x→+∞2x−3x+1=2\lim\limits_{x \to +\infty} y = \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{2x-3}{x+1} = 2

    => Tiệm cận ngang:y=2y=2
  • Bước 4. Tìm điểm cắt trục tung:x=0⇒y=−31=−3x=0 \Rightarrow y = \frac{-3}{1} = -3. Vậy điểm(0;−3)(0; -3).
    Tìm điểm cắt trục hoành:y=0⇒2x−3=0⇒x=1.5y=0 \Rightarrow 2x-3=0 \Rightarrow x=1.5. Điểm(1.5;0)(1.5;0).
  • Bước 5. Khảo sát chiều biến thiên:
    Tính đạo hàmy′=(2)(x+1)−(2x−3)(1)(x+1)2=2x+2−2x+3(x+1)2=5(x+1)2y' = \frac{(2)(x+1)-(2x-3)(1)}{(x+1)^2} = \frac{2x+2-2x+3}{(x+1)^2} = \frac{5}{(x+1)^2}.
    Vì mẫu số luôn dương trên tập xác định nêny′>0y'>0. Hàm số luôn đồng biến trên các khoảng xác định.
  • Bước 6. Vẽ đồ thị (hyberbol): Đồ thị nhận điểm (−1,voˆ nghı˜a)\left(-1,\text{vô nghĩa}\right) là tiệm cận đứng, đường y=2y=2 là tiệm cận ngang, đi qua các điểm (0;−3)(0;-3) , (1.5;0)(1.5;0) . Đồ thị nằm phía trên tiệm cận ngang và không có cực trị.

    • 5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

  • Tập xác định: D=R∖{−dc}D=\mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{d}{c}\right\}.
  • Tiệm cận đứng:x=−dcx=-\frac{d}{c}.
  • Tiệm cận ngang:y=acy=\frac{a}{c}.
  • Đạo hàm:y′=ad−bc(cx+d)2y' = \frac{ad - bc}{(cx + d)^2}.
  • Điểm cắt trục tung: Thayx=0x=0vào hàm số.
  • Điểm cắt trục hoành: Giảiax+b=0⇔x=−baax + b=0 \Leftrightarrow x=-\frac{b}{a}(a≠0a \neq 0).

    • 6. Biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

  • Hàm số gặp thêm yêu cầu tìm tham số a,b,c,da, b, c, dtheo điều kiện cho trước (ví dụ: Đồ thị đi qua điểm hoặc cắt trục ở vị trí xác định). Dùng phối hợp điều kiện để lập hệ phương trình.
  • Cho dạngy=ax+bcx+dy=\frac{ax+b}{cx+d}và yêu cầu chuyển thành dạngy=k+mcx+dy=k+\frac{m}{cx+d} để làm rõ tâm đối xứng và nhận diện các yếu tố đồ thị.
  • Các bài toán cực trị, tiếp tuyến, diện tích hình phẳng với giới hạn hàm số.

    • 7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

    Bài toán mẫu: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y=3x+22x−1y = \frac{3x + 2}{2x - 1}.

  • Bước 1: Tập xác định D=R∖{12}D=\mathbb{R}\setminus\{\frac{1}{2}\}.
  • Bước 2: Tiệm cận đứngx=12x=\frac{1}{2}.
  • Bước 3: Tiệm cận ngangy=32y=\frac{3}{2}.
  • Bước 4:
    - Cắt trục tung:x=0⇒y=2/(−1)=−2x=0 \Rightarrow y=2/(-1)=-2
    - Cắt trục hoành:y=0⇒3x+2=0⇒x=−2/3y=0 \Rightarrow 3x+2=0 \Rightarrow x=-2/3.

    Qua các điểm(0;−2)(0;-2)và (−2/3;0)(-2/3;0).
  • Bước 5: Đạo hàmy′=(3)(2x−1)−(3x+2)(2)(2x−1)2=6x−3−6x−4(2x−1)2=−7(2x−1)2<0 →y' = \frac{(3)(2x-1) - (3x+2)(2)}{(2x-1)^2} = \frac{6x-3-6x-4}{(2x-1)^2} = \frac{-7}{(2x-1)^2} < 0 \ \rightarrowHàm số luôn nghịch biến.
  • Bước 6: Vẽ đầy đủ tiệm cận, điểm cắt trục và đi qua các điểm đặc biệt.

    • Phân tích và trình bày bảng biến thiên đầy đủ để xác định chiều biến thiên và giá trị giới hạn tại các tiệm cận.

    8. Bài tập thực hành

  • Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm sau:
    (a)y=4x−52x+3y = \frac{4x - 5}{2x + 3}
    (b)y=−x+1x−4y = \frac{-x + 1}{x - 4}
    (c)y=5x+43x−2y = \frac{5x + 4}{3x - 2}
  • Bài toán tổng hợp: Xác định các tham số a,b,c,da, b, c, dđể đồ thịy=ax+bcx+dy = \frac{ax + b}{cx + d} đi qua các điểmA(0;1)A(0;1),B(1;2)B(1;2)và có tiệm cận ngangy=3y=3.
  • Đề xuất vẽ đồ thị bằng phần mềm GeoGebra để kiểm tra kết quả tự giải.

    • 9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

  • Phát hiện nhanh tiệm cận bằng cách xét giới hạn khixxtiến tới các giá trị vô tận và giá trị làm mẫu số bằng00.
  • Trong quá trình tính đạo hàm, luôn kiểm tra mẫu số và điều kiện xác định để tránh trả lời sai.
  • Nhớ đối chiếu bảng biến thiên với đồ thị để tránh vẽ sai chiều (vì hàm số thuần đồng biến hoặc nghịch biến/một nhánh).
  • Khi yêu cầu viết phương trình hàm số qua điểm và điều kiện đặc biệt, luôn lập hệ phương trình dựa trên các thông tin đã cho.
    • T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".