Chiến lược giải bài toán hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất: y = (ax + b)/(cx + d)

1. Giới thiệu về hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất và vai trò của nó

Ở chương trình Toán lớp 12, hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất có dạng tổng quát là$y = \frac{ax + b}{cx + d}$. Đây là dạng hàm số quan trọng trong phần khảo sát, vẽ đồ thị và giải các bài toán liên quan đến sự biến thiên, cực trị, tiệm cận, tương giao đồ thị với đường thẳng,…

Những lý do khiến loại hàm này quan trọng:

• Thường xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia, kiểm tra, luyện thi Đại học.
• Mở rộng kiến thức và tư duy về hàm số, chuẩn bị cho các dạng hàm phi tuyến khó hơn.
• Liên hệ nhiều bài toán thực tế, ứng dụng trong các lĩnh vực khác.

2. Đặc điểm của hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất

• Hàm số xác định khi$cx + d \neq 0 \Leftrightarrow x \neq -\dfrac{d}{c}$(nếu$c \neq 0$).
• Đồ thị là một hyperbol (hay còn gọi là hypebol phân đoạn).
• Có hai tiệm cận là:

+ Tiệm cận đứng:$x = -\dfrac{d}{c}$

+ Tiệm cận ngang:$y = \dfrac{a}{c}$

• Tùy vào giá trị các hệ số, đồ thị có thể tịnh tiến và mở trục khác nhau.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Một bài toán về hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất thường bao gồm các nội dung:

• Xác định tập xác định.
• Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang.
• Khảo sát chiều biến thiên (đồng biến, nghịch biến) và cực trị (nếu có).
• Vẽ đồ thị.
• Tìm giao điểm với trục hoành, trục tung hoặc với đường thẳng$y = k$.
• Giải các phương trình, bất phương trình liên quan.

Chiến lược tổng thể gồm các bước:

• Viết lại dạng tổng quát, xác định các hệ số.
• Lần lượt giải quyết từng yêu cầu của bài toán theo trình tự hợp lý.

4. Các bước giải bài toán hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất

Ta cùng xét ví dụ minh họa cụ thể:

Ví dụ: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y = \frac{2x - 1}{x + 2}$

Bước 1:Xác định tập xác định:

Điều kiện:$x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$.

Bước 2:Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang

+ Tiệm cận đứng: giải$x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$.

+ Tiệm cận ngang: lấy giới hạn khi$x \to \pm \infty$:

$\displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x-1}{x+2} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{2}{x}} = 2$

Vậy tiệm cận ngang là $y = 2$

Bước 3:Tìm giao với trục hoành và trục tung:

• Giao với trục hoành ($y = 0$):$2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$.
• Giao với trục tung ($x = 0$):$y = \frac{-1}{2}$.

Bước 4:Khảo sát chiều biến thiên và cực trị:

Tính đạo hàm:

$y' = \frac{(2)(x+2) - (2x-1)(1)}{(x+2)^2} = \frac{2x + 4 - 2x + 1}{(x+2)^2} = \frac{5}{(x+2)^2} > 0$với mọi$x \neq -2$

Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định.

Bước 5:Vẽ bảng biến thiên và đồ thị.

Lưu ý đồ thị có hai nhánh, bị ngắt tại$x = -2$và tiến tới$y=2$khi$x$lớn (bên trái, bên phải tách riêng).

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{d}{c}\right\}$.
• Tiệm cận đứng:$x = -\dfrac{d}{c}$.
• Tiệm cận ngang:$y = \dfrac{a}{c}$(nếu$c \neq 0)$. Khi$c=0$, hàm trở thành bậc nhất, không còn là phân thức.
• Đạo hàm:$y' = \frac{ad - bc}{(cx + d)^2}$
• Chiều biến thiên: Nếu$ad - bc > 0$, hàm đồng biến; nếu$ad - bc < 0$, hàm nghịch biến.
• Không tồn tại cực trị.

6. Các biến thể và cách điều chỉnh chiến lược

Một số biến thể thường gặp:

• Bài toán tìm tham số để hàm số cắt trục hoành, trục tung; có tiệm cận song song hoặc trùng với đường thẳng cho trước, v.v...
• Bài toán giải bất phương trình và phương trình chứa phân thức bậc nhất trên bậc nhất.
• Bài toán khảo sát và vẽ đồ thị đồng thời xác định vị trí điểm đặc biệt, miền giá trị của hàm số.

Nếu phân thức có thể rút gọn được (tử và mẫu có nhân tử chung), cần rút gọn trước khi khảo sát.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài toán 1: Khảo sát hàm số $y = \frac{3x + 4}{2x - 1}$và vẽ đồ thị

a) Xác định tập xác định:
$2x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{1}{2}$. b) Tiệm cận:

- Đứng:$x = \frac{1}{2}$

- Ngang:$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{3x + 4}{2x - 1} = \frac{3}{2}$

c) Giao với trục hoành ($y=0$):

$3x + 4 = 0 \Rightarrow x = -\frac{4}{3}$

Giao với trục tung ($x=0$):$y = \frac{4}{-1} = -4$

d) Chiều biến thiên:

Tính đạo hàm$y' = \frac{3(2x - 1) - 2(3x + 4)}{(2x - 1)^2} = \frac{6x - 3 - 6x - 8}{(2x - 1)^2} = \frac{-11}{(2x - 1)^2} < 0$, hàm số luôn nghịch biến.

Bảng biến thiên: Giống các ví dụ trên (tự vẽ hoặc dùng phần mềm hỗ trợ). Đồ thị: Hyperbol, có hai nhánh phân chia bởi$x = \frac{1}{2}$, tiến tới$y = \frac{3}{2}$khi$x$lớn (dương hoặc âm).

8. Bài tập thực hành

Hãy tự giải các bài toán sau và so sánh với đáp án gợi ý:

• Bài 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y = \frac{4x - 3}{x - 1}$.
• Bài 2. Tìm$m$ để đường thẳng$y = m$cắt đồ thị hàm$y = \frac{2x + 1}{x - 2}$tại hai điểm phân biệt.
• Bài 3. Giải bất phương trình$\frac{5x + 2}{x - 3} > 1$.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Luôn xác định tập xác định đầu tiên, tránh mất nghiệm hoặc vẽ sai đồ thị do bỏ sót điểm loại.
• Không quên tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.
• Cẩn thận khi giải phương trình chứa phân thức với điều kiện mẫu khác 0.
• Khi khảo sát chiều biến thiên, phải xét dấu tử đạo hàm$(ad-bc)$.
• Nếu tử và mẫu có thể rút gọn, phải rút gọn trước khi khảo sát.