Chiến lược giải bài toán hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất: y = (ax + b)/(cx + d)

1. Giới thiệu về hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất

Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất dạng$y = \frac{ax + b}{cx + d}$là một kiến thức then chốt trong chương trình Toán lớp 12, thường xuất hiện trong các đề thi THPT Quốc gia, kiểm tra định kỳ cũng như các bài toán thực tiễn và nâng cao. Việc nắm vững cách giải bài toán hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất không chỉ giúp học sinh thành thạo xử lý các dạng đồ thị, khảo sát sự biến thiên mà còn nâng cao tư duy logic và khả năng vận dụng kiến thức đại số vào giải quyết vấn đề thực tiễn.

2. Phân tích đặc điểm bài toán

Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất có các đặc điểm quan trọng sau:

• Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ -\frac{d}{c} \right\}$với$c \ne 0$.
• Tiếp cận tiệm cận: Phương trình có tiệm cận đứng$x = -\frac{d}{c}$và tiệm cận ngang$y = \frac{a}{c}$(nếu$c \ne 0)$. Nếu$a = 0$, hàm số trở thành hàm phân thức bậc nhất trên nhất và có tiệm cận ngang$y = 0$.
• Điều kiện đặc biệt: Nếu$\frac{a}{c} = 1$, đồ thị hàm số có một số tính chất hình học đặc biệt.
• Đồ thị là hypebol (nếu$c \ne 0$).

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Để giải quyết bài toán liên quan đến hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất, học sinh cần thực hiện các bước tổng quát sau:

• Xác định tập xác định
• Tìm và vẽ các đường tiệm cận
• Khảo sát và xác định các điểm đặc biệt (giao với trục$Ox$,$Oy$, cực trị nếu có...)
• Vẽ đồ thị hàm số

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ minh họa: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y = \frac{2x-3}{x+1}$

1. Bước 1: Xác định tập xác định:
   Xét mẫu số $x+1 \ne 0 \Rightarrow x \ne -1$.
   Vậy $D = \mathbb{R} \setminus \{ -1 \}$.
2. Bước 2: Tìm các tiệm cận:
   - Tiệm cận đứng:$x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$
   - Tiệm cận ngang: Tìm giới hạn của$y$khi$x \to \pm \infty$:$\lim\limits_{x\to\infty} \frac{2x-3}{x+1} = 2$(vì hệ số bậc nhất trên tử và mẫu). Vậy tiệm cận ngang:$y = 2$.
3. Bước 3: Giao với trục Ox:
   $\frac{2x-3}{x+1} = 0 \Leftrightarrow 2x-3 = 0 \Leftrightarrow x = 1.5$. Vậy giao với trục Ox tại$(1.5; 0)$.
4. Bước 4: Giao với trục Oy:
   $x = 0 \Rightarrow y = \frac{-3}{1} = -3$. Vậy giao với trục Oy tại$(0; -3)$.
5. Bước 5: Xét chiều biến thiên và lập bảng biến thiên:
   Tính đạo hàm:$y' = \frac{(2)(x+1) - 1(2x-3)}{(x+1)^2} = \frac{2x+2-2x+3}{(x+1)^2} = \frac{5}{(x+1)^2} > 0$
   ⇒ Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định.
6. Bước 6: Vẽ đồ thị dựa vào các yếu tố trên.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ -\frac{d}{c} \right\}$với$c \ne 0$.
• Tiệm cận đứng:$x = -\frac{d}{c}$.
• Tiệm cận ngang:
  Nếu$a/c \ne 0$, tiệm cận ngang:$y = \frac{a}{c}$.
  Nếu$a = 0$,$y = \frac{b}{d}$, hàm trở thành hàm hằng.
• Điểm giao Ox:$\frac{ax + b}{cx + d}=0 \Rightarrow x = -\frac{b}{a}$(với$a \ne 0$).
• Điểm giao Oy: Giá trị tại$x=0$:$y = \frac{b}{d}$.
• Đạo hàm:$y' = \frac{ad-bc}{(cx+d)^2}$.
• Hàm luôn đồng biến nếu$ad-bc > 0$, luôn nghịch biến nếu$ad-bc < 0$.

6. Các biến thể thường gặp và cách điều chỉnh chiến lược

• Hàm số có tham số: Phải xét tập xác định và tiệm cận theo từng giá trị tham số.
• Bài toán cực trị: Sử dụng công thức đạo hàm để xác định chiều biến thiên.
• Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên đoạn: Xem xét các giới hạn, biên trái/phải, đánh giá theo đạo hàm.
• Hai hàm đồng biến hoặc nghịch biến nhau: So sánh dấu của đạo hàm.
• Bài toán thực tế: Áp dụng công thức chuyển đổi biến và ý nghĩa hình học đồ thị.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y = \frac{3x+2}{x-1}$.

1. Tập xác định: $x-1 \ne 0 \Rightarrow x \ne 1$. $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.
2. Tiệm cận đứng:$x=1$. Tiệm cận ngang:$\lim\limits_{x \to \pm \infty}\frac{3x+2}{x-1}=3$nên tiệm cận ngang$y=3$.
3. Giao với trục Ox:$3x+2=0 \Rightarrow x=-\frac{2}{3}$($x \ne 1$).
4. Giao với trục Oy:$x=0 \Rightarrow y=\frac{2}{-1}=-2$.
5. Đạo hàm:$y' = \frac{(3)(x-1) - 1(3x+2)}{(x-1)^2} = \frac{3x-3-3x-2}{(x-1)^2} = \frac{-5}{(x-1)^2} < 0$trên miền xác định.
   → Hàm số luôn nghịch biến trên$(-\infty, 1)$và $(1, +\infty)$
6. Vẽ đồ thị với các yếu tố trên.

8. Bài tập tự luyện

Hãy khảo sát các hàm số sau, chỉ ra rõ tập xác định, tiệm cận, chiều biến thiên, giao với trục Ox/Oy:

• $y = \frac{2x + 1}{x - 2}$
• $y = \frac{-x + 4}{2x + 3}$
• $y = \frac{5x - 1}{2x - 1}$

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm

• Luôn xác định tập xác định trước khi khảo sát hàm số
• Phân biệt rõ tiệm cận đứng và tiệm cận ngang
• Chú ý dấu đạo hàm để xác định chính xác chiều biến thiên
• Đối với bài toán thực tế, kiểm tra ý nghĩa của nghiệm và loại bỏ giá trị không phù hợp
• Luôn kiểm tra lại cả giá trị $x$bị loại và tính liên tục ở các điểm quan trọng