1. Giới thiệu về bài toán hàm phân thức

Hàm phân thức là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 12, thường gặp trong các bài kiểm tra, ôn thi THPT Quốc gia và các đề kiểm tra học kỳ. Đây là loại hàm số có dạng tổng quát:

$y=\frac{P(x)}{Q(x)}$

trong đó $P(x)$,$Q(x)$là hai đa thức và $Q(x) <br> \neq 0$.

Việc nắm vững cách giải bài toán hàm phân thức không chỉ giúp tiếp cận tốt các câu hỏi về khảo sát hàm số, giới hạn, đạo hàm mà còn là nền tảng cho việc giải toán nâng cao trong các kỳ thi quan trọng.

2. Đặc điểm và phân loại bài toán hàm phân thức

Các bài toán về hàm phân thức thường tập trung vào những yêu cầu chính sau:

• Tìm tập xác định của hàm số.
• Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên.
• Khảo sát chiều biến thiên, cực trị, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
• Vẽ đồ thị hàm số phân thức bậc nhất/bậc hai.
• Giải các phương trình, bất phương trình liên quan đến hàm phân thức.
• Tính nguyên hàm và diện tích liên quan đến hàm phân thức.

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận bài toán hàm phân thức

Muốn "chinh phục" dạng bài hàm phân thức, học sinh nên tuân thủ các bước sau:

1. Hiểu rõ yêu cầu bài toán (tìm tập xác định, khảo sát, v.v.)
2. Xác định dạng hàm (bậc của tử và mẫu)
3. Phân tích các đặc điểm, rút ra nhận dạng (dấu hiệu phân biệt các dạng tiệm cận, tập xác định, ...)
4. Áp dụng lần lượt các bước giải phù hợp với yêu cầu đề bài.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

a) Tìm tập xác định

Tập xác định của hàm phân thức là tập tất cả giá trị $x$thỏa mãn$Q(x) <br> \neq 0$.

Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số $y = \frac{2x+1}{x^2 - 4}$.

• Điều kiện:$x^2 - 4 <br> \neq 0 \Leftrightarrow x <br> \neq 2, x <br>eq -2$.
• Tập xác định: $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{ -2; 2 \}$.

b) Xác định tiệm cận

• Tiệm cận đứng: Nghiệm của$Q(x) = 0$(mẫu số bằng 0, tử số khác 0).
• Tiệm cận ngang/xiên: Phân tích giới hạn của hàm số khi$x \to \pm \infty$.

Ví dụ 2: Tìm các tiệm cận của$y = \frac{2x+1}{x-2}$.

• $x = 2$là tiệm cận đứng (mẫu bằng 0 khi$x = 2$).
• Tính giới hạn khi$x \to \pm \infty$:$\lim_{x\to\infty} \frac{2x+1}{x-2} = 2.$Vậy$y=2$là tiệm cận ngang.

c) Khảo sát chiều biến thiên và cực trị

Tính đạo hàm$y'$, lập bảng biến thiên dựa trên dấu của$y'$và xác định điểm cực đại, cực tiểu.

Ví dụ 3: Xét hàm$y=\frac{x^2-2x+3}{x-1}$. Tìm các điểm cực trị.

• Tập xác định:$x <br> \neq 1$.
• Tính đạo hàm:$y' = \frac{(2x-2)(x-1) - (x^2-2x+3) \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{2x^2-2x-2x+2-(x^2-2x+3)}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 3}{(x-1)^2}$
• Giải $y'=0 \Leftrightarrow x^2 - 3 = 0 \Leftrightarrow x=\sqrt{3}, x=-\sqrt{3}$ (cả hai đều thuộc tập xác định).
• Kết luận: Hàm số có hai điểm cực trị tại $x= \pm \sqrt{3}$.

d) Vẽ đồ thị hàm số phân thức

1. Tìm tập xác định, các tiệm cận, điểm cắt trục, cực trị
2. Lập bảng biến thiên dựa vào đạo hàm
3. Chú ý đến tính đối xứng nếu có

Sau khi có các thông tin này, học sinh phác họa đồ thị dễ dàng và chính xác.

e) Tính nguyên hàm cơ bản của hàm phân thức

Trường hợp cơ bản thường gặp:$<br />\int \frac{ax + b}{cx + d}dx$
Đặt$u = cx + d$,$du = cdx$hoặc tách thành tổng thành phần:
$\int \frac{P(x)}{Q(x)}dx = \int f_1(x)dx + \int \frac{f_2(x)}{Q(x)}dx$
nếu$\deg{P(x)} \geq \deg{Q(x)}$thì chia đa thức rồi giải tiếp.

Ví dụ 4: Tính$\int \frac{2x+3}{x+2}dx$.

1. Chia đa thức:$2x+3 = 2(x+2)-1$.
2. Biến đổi:
   $\int \frac{2x+3}{x+2}dx = \int \left[ 2 - \frac{1}{x+2} \right]dx = 2x - \ln|x+2| + C$

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Cách chia đa thức:$\frac{P(x)}{Q(x)}$, nếu$\deg(P(x)) \geq \deg(Q(x))$.
• Đạo hàm phân thức:$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
• Nguyên hàm cơ bản:
  -$\int \frac{1}{x}dx = \ln|x| + C$
  -$\int \frac{1}{ax+b}dx = \frac{1}{a}\ln|ax+b| + C$
  -$\int \frac{ax+b}{cx+d}dx$dùng đặt$u = cx + d$.
• Giới hạn khi$x \to \infty$: So sánh bậc tử và mẫu để xác định tiệm cận ngang/xiên.

6. Các biến thể và điều chỉnh chiến lược

• Hàm phân thức bậc nhất/bậc hai trên bậc nhất: Đồ thị là hyperbol/cận-đồ thị parabol.
• Tử bậc cao hơn mẫu: Chia đa thức để rút gọn.
• Bất phương trình chứa phân thức: Quy đồng mẫu, chuyển về bất phương trình tích, xét điều kiện xác định.
• Tìm giá trị tham số để hàm thỏa mãn tính chất (đơn điệu, đạt cực trị đặc biệt,...): Dùng thêm đạo hàm và điều kiện biện luận.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập mẫu: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y = \frac{x-1}{x+2}$.

1. Tập xác định:$x+2 <br> \neq 0 \Leftrightarrow x <br> \neq -2$.
2. Tiệm cận đứng:$x = -2$.
   Tiệm cận ngang:$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x-1}{x+2} = 1 \Rightarrow y=1$là tiệm cận ngang.
3. Điểm cắt trục hoành:$x-1 = 0 \Rightarrow x=1$. Điểm cắt trục tung:$x=0 \Rightarrow y = -\frac{1}{2}$.
4. Đạo hàm:$y' = \frac{(x+2) \cdot 1 - (x-1) \cdot 1}{(x+2)^2} = \frac{3}{(x+2)^2} > 0$với mọi$x <br> \neq -2$, nên hàm đồng biến trên từng khoảng xác định.
5. Bảng biến thiên đơn giản. Đồ thị là một nhánh hyperbol, đi qua các điểm cắt, tiệm cận đã tìm.

8. Bài tập thực hành

• Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số $y=\frac{x+3}{2x-1}$.
• Giải bất phương trình$\frac{x^2-1}{x-3}>0$
• Tính nguyên hàm$<br>\int \frac{3x+4}{x+1}dx$
• Tìm giá trị $m$ để hàm$y=\frac{x^2+m}{x+1}$ đạt giá trị nhỏ nhất tại$x=1$.

9. Mẹo, lưu ý tránh sai lầm phổ biến

• Luôn kiểm tra điều kiện xác định trước khi giải.
• Chú ý dạng đặc biệt của tiệm cận xiên khi tử số bậc lớn hơn mẫu số đúng 1 bậc.
• Khi giải bất phương trình/phương trình chứa phân thức, nhớ loại nghiệm làm mẫu số bằng 0.
• Khi tính nguyên hàm, đừng quên cộng hằng số $C$.
• Chú ý chia đa thức nếu tử số có bậc lớn hơn hoặc bằng mẫu, để rút gọn cho tiện xử lý các phần sau.