Chiến lược giải bài toán hàm thể tích lớp 12: Hướng dẫn chi tiết từng bước kèm ví dụ minh họa

1. Giới thiệu về bài toán hàm thể tích và tầm quan trọng

Bài toán liên quan đến "hàm thể tích" là một trong những dạng phổ biến và thực tế của toán lớp 12, xuất hiện rất nhiều trong các đề thi THPT Quốc gia cũng như kiểm tra định kỳ. Thường, học sinh được yêu cầu xác định giá trị lớn nhất (GTLN) hoặc giá trị nhỏ nhất (GTNN) của thể tích một khối (như hình hộp, nón, chóp, lăng trụ…) phụ thuộc vào một biến số hình học nào đó. Việc vận dụng thành thạo cách giải bài toán hàm thể tích giúp học sinh rèn luyện tư duy logic, kỹ năng liên kết hình học với giải tích, và ứng dụng hiệu quả kiến thức trong thực tiễn.

2. Đặc điểm của bài toán hàm thể tích

Đặc điểm nổi bật của loại bài toán này là thể tích của một khối được biểu diễn bằng một hàm số có biến số là đại lượng hình học (thường là cạnh, bán kính, chiều cao…). Đề bài sẽ giới hạn biến số này trong một khoảng nhất định, yêu cầu xác định GTLN hoặc GTNN của thể tích. Bài toán hàm thể tích thường gắn với kiến thức về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên đoạn và vận dụng đạo hàm để giải quyết.

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận bài toán hàm thể tích

Để giải tốt các bài toán hàm thể tích, học sinh nên tuân theo các chiến lược sau:

• Phân tích kỹ lưỡng đề bài: Xác định rõ hình khối, biến số cần tìm và các ràng buộc liên quan.
• Biểu diễn thể tích bằng công thức có chứa 1 biến duy nhất (nếu chưa, phải đưa về dạng một biến).
• Tìm miền xác định của biến (thường là một đoạn$[a, b]$).
• Sử dụng đạo hàm để tìm điểm cực trị trong đoạn, kiểm tra thêm tại các đầu mút.
• Kết luận giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và liên hệ với đề bài.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Sau đây là quy trình cơ bản cùng ví dụ cụ thể:

• Bước 1: Đọc kỹ và vẽ hình minh họa (nếu có thể).
• Bước 2: Biểu diễn giới hạn của biến số và các ràng buộc (miền xác định).
• Bước 3: Dựng công thức thể tích theo 1 biến số.
• Bước 4: Xét tính đơn điệu, tính đạo hàm, giải phương trình$V'(x) = 0$trong đoạn xác định.
• Bước 5: So sánh giá trị $V(x)$tại các điểm cực trị và hai đầu đoạn để xác định GTLN hoặc GTNN.

Ví dụ minh họa:

Cho hình hộp chữ nhật có chiều cao$h$, đáy là hình chữ nhật có chiều dài$x$và chiều rộng$y$sao cho$x + 2y = 12$(đơn vị: cm). Tìm giá trị của$x$ để hình hộp có thể tích lớn nhất khi$h = 3$cm.

• Bước 1: Gọi$x$là chiều dài,$y$là chiều rộng. Theo đề:$x + 2y = 12 \Rightarrow y = \frac{12 - x}{2}$.$h = 3$.
• Bước 2: Thể tích hình hộp$V = x \cdot y \cdot h = x \cdot \frac{12 - x}{2} \cdot 3 = \frac{3x(12 - x)}{2}$.
• Bước 3: Biến$x$nhận giá trị khi$y \geq 0 \Rightarrow x \leq 12$,$x > 0$.
• Bước 4: Xét hàm$V(x) = \frac{3x(12-x)}{2}$trên khoảng$(0,12)$.
• Bước 5: Đạo hàm$V'(x) = \frac{3}{2}(12 - x - x) = \frac{3}{2}(12 - 2x)$. Cho$V'(x) = 0 \Rightarrow x = 6$.
• Bước 6: Tính$V(0) = 0$,$V(12) = 0$,$V(6) = \frac{3 \cdot 6 \cdot 6}{2} = 54$.
• Bước 7: Suy ra$x = 6$là giá trị để thể tích đạt lớn nhất (54 cm$^3$).

5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ

• - Công thức thể tích cơ bản:
• $V_{hộp \chữ \nhật} = a \times b \times h$
• $V_{hình \lập \phương} = a^3$
• $V_{hình \trụ} = \pi r^2 h$
• $V_{hình \nón} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$
• $V_{hình \chóp} = \frac{1}{3} S_{đáy} h$
• - Đạo hàm của hàm đa thức, lượng giác, căn thức (tùy từng bài).
• - Xét giá trị tại điểm nghi ngờ (nghiệm đạo hàm thuộc đoạn) và hai đầu mút của đoạn.

6. Các biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

Bài toán hàm thể tích có thể biến hóa phụ thuộc vào đặc điểm hình học và ràng buộc:

• Thể tích phụ thuộc vào hàm ẩn dưới dạng căn, tỉ số, tham số; cần biến đổi về 1 biến.
• Ràng buộc giữa các cạnh, bán kính, chiều cao dưới dạng phương trình hoặc bất đẳng thức.
• Tìm GTLN, GTNN trên đoạn; hoặc trong miền chặt chẽ.

7. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập mẫu 1: Cho hình nón có chiều cao$h = 12$(cm), bán kính đáy$r$thay đổi sao cho chu vi đáy bằng$16\pi$(cm). Tìm$r$ để hình nón có thể tích lớn nhất.

• Bước 1: Chu vi đáy:$2\pi r = 16\pi \Rightarrow r = 8$cm. Vậy$r$không thay đổi, thể tích đạt giá trị cực đại khi$r = 8$.
• Bước 2: Thể tích$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (8^2)\times 12 = \frac{1}{3}\pi \times 64 \times 12 = 256\pi$(cm$^3$).

Bài tập mẫu 2: Cho hình trụ có chiều cao$h$và bán kính đáy$r$thỏa mãn$2r + h = 12$(cm). Tìm$r$ để thể tích hình trụ đạt giá trị lớn nhất.

• Thể tích$V = \pi r^2 h = \pi r^2 (12 - 2r)$. Với$r \geq 0, h \geq 0 \Rightarrow 0 \leq r \leq 6$.
• Đạo hàm:$V'(r) = \pi (2r (12 - 2r) - 2r^2) = 2\pi r(12 - 3r)$.$V'(r) = 0 \Rightarrow r = 0$hoặc$r = 4$.
• Tính$V(0)$,$V(4)=\pi \times 16 \times 4 = 64\pi$,$V(6) = 0$.
• Vậy$r = 4$cm thì thể tích lớn nhất:$64\pi$cm$^3$.

8. Bài tập thực hành tự luyện

1. Một hình chóp tứ giác có đáy là hình vuông cạnh$x$(cm), chiều cao$h = 10 - x$(cm) ($0 < x < 10$). Tìm$x$ để thể tích hình chóp đạt giá trị lớn nhất.

2. Cho hình hộp chữ nhật có thể tích$V = xyz$với$x + y + z = 12$(cm),$x, y, z > 0$. Tìm giá trị lớn nhất của$V$.

3. Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều cạnh$a$, chiều cao$h$sao cho$a + h = 10$(cm). Tìm$a$ để thể tích lớn nhất.

9. Mẹo và lưu ý khi giải bài toán hàm thể tích

• Kiểm tra kỹ lưỡng miền giá trị của biến để tránh chọn nghiệm ngoài miền xác định.
• Tập trung đưa về dạng hàm số một biến càng đơn giản càng tốt, tránh biểu thức phức tạp.
• Sau khi tìm điểm cực trị, nhớ tính giá trị tại hai đầu đoạn!
• Chú ý các bài toán có điều kiện hình học đặc biệt (tam giác đều, vuông góc, v.v...) để tận dụng các công thức đặc thù.
• Luôn kiểm thực lại nghiệm vào điều kiện thực tế của bài toán.