Chiến lược giải bài toán Hàm tốc độ lớp 12: Phân tích, phương pháp và luyện tập

1. Giới thiệu về bài toán Hàm tốc độ và tầm quan trọng của nó

Bài toán hàm tốc độ là một trong những nội dung trọng tâm, thường gặp trong chương IV – Nguyên hàm, Tích phân (Toán 12). Loại bài này liên quan chặt chẽ với thực tế (chuyển động, dòng chảy, tăng trưởng...), lại là chủ đề xuất hiện nhiều trong đề thi THPT Quốc gia. Nắm vững cách giải bài toán hàm tốc độ giúp bạn giải nhanh các câu hỏi liên quan đến quãng đường, vị trí, thời điểm chuyển động... Từ đó, tăng chất lượng làm bài thi cũng như vận dụng kiến thức toán vào các tình huống thực tế.

2. Phân tích đặc điểm bài toán Hàm tốc độ

• - Đối tượng thường là một vật chuyển động trên trục số (nằm ngang, dọc hoặc trên đường thẳng).
• - Đề bài cung cấp hàm vận tốc$v(t)$, yêu cầu tìm vị trí, quãng đường, thời gian dừng, thời điểm đổi chiều...
• - Hàm vận tốc có thể là dạng bậc nhất, bậc hai hoặc các hàm dạng lượng giác, hàm hợp...
• - Câu hỏi thường yêu cầu: tính quãng đường vật đi được trên khoảng thời gian, thời điểm dừng, tìm vị trí tại thời điểm cho trước hoặc sau một quãng thời gian nhất định.

3. Chiến lược tổng thể giải bài toán hàm tốc độ

• - Đọc kỹ đề, xác định rõ yêu cầu (vị trí, quãng đường, thời gian...)
• - Xác định hàm chuyển động: vận tốc$v(t)$, gia tốc$a(t)$, vị trí $s(t)$liên quan như thế nào.
• - Nếu cần tìm vị trí, sử dụng nguyên hàm của$v(t)$:$s(t) = \int v(t)dt + C$
• - Nếu cần tính quãng đường, dùng công thức tích phân giá trị tuyệt đối:$S = \int_{a}^{b} |v(t)|dt$
• - Xác định các thời điểm vật đổi chiều (vận tốc đổi dấu) hoặc dừng lại (vận tốc bằng 0) bằng cách giải phương trình$v(t) = 0$

4. Hướng dẫn giải chi tiết qua ví dụ minh họa

Ví dụ 1:

Một vật chuyển động với vận tốc$v(t) = 3t^2 - 6t$(đơn vị m/s),$t$tính bằng giây. Vật xuất phát từ vị trí $s_0 = 0$tại$t = 0$.

Yêu cầu 1: Tính quãng đường vật đi được từ $t=0$ đến$t=3$(giây).

• Phân tích: Ta cần tính$S = \int_{0}^{3} |v(t)|dt$. Trước hết, xác định các thời điểm vận tốc đổi dấu.

Giải phương trình:$v(t) = 0$

$3t^2 - 6t = 0 \iff 3t(t-2) = 0 \implies t=0$hoặc$t=2$

Lập bảng xét dấu của$v(t)$trên$[0,3]$: -$t \in (0,2)$:$v(t) < 0$.
-$t \in (2,3)$:$v(t) > 0$Ta tách khoảng tính:$S = \int_{0}^{2} |-v(t)|dt + \int_{2}^{3} v(t)dt$(Từ $0 \to 2$, do$v(t)$ âm nên$|v(t)| = -v(t)$)

S =$\int$_{0}^{2} -$(3t^2-6t)$dt +$\int$_{2}^{3}$(3t^2-6t)$dt

Tính các tích phân:

-$\int (3t^2-6t)dt = t^3 - 3t^2 + C$

Vậy:

• Kết luận: Quãng đường vật đi từ $t=0$ đến$t=3$là $8$m.

Yêu cầu 2: Tính vị trí vật tại$t=3$(so với gốc tọa độ)

• Vị trí $s(3) = s_0 + \int_{0}^{3} v(t)dt$

Áp dụng công thức:

$\int_{0}^{3} v(t)dt = [t^3 - 3t^2]_{0}^{3} = (27-27) - (0-0) = 0$

Vậy$s(3) = 0 + 0 = 0$(vật trở về vị trí xuất phát sau$3$giây)

5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ

• - Vị trí tại thời điểm$t$:$s(t) = s_0 + \int_{t_0}^{t} v(t)dt$
• - Quãng đường đi trên$[a,b]$:$S = \int_{a}^{b} |v(t)|dt$
• - Thời điểm dừng: Giải$v(t) = 0$
• - Thời điểm đổi chiều: Nghiên cứu dấu của$v(t)$(đổi dấu khi qua$0$)
• - Gia tốc:$a(t) = v'(t)$; đôi khi cần tìm$v(t)$từ $a(t)$bằng tích phân

6. Các biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

• - Bài toán cho$a(t)$, hỏi về $v(t)$,$s(t)$: Cần hai lần lấy nguyên hàm, chú ý điều kiện ban đầu.
• - Bài toán cho$v(t)$dạng lượng giác: Khi lấy giá trị tuyệt đối, cần xác định rõ các điểm$v(t)=0$chia các khoảng dấu.
• - Bài toán vận tốc đổi dấu liên tục: Chia nhỏ khoảng xét dấu để tích phân từng đoạn.
• - Bài toán thực tế: Đọc kĩ đơn vị, có thể có ẩn số trong tham số thực tế (chiều cao, thời điểm,...)

7. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập mẫu 1:

Một vật chuyển động theo vận tốc$v(t) = 2\sin(t) + 1$(đơn vị m/s)$,$t$tính bằng giây. Tính quãng đường vật đi trên đoạn$[0,2\pi]$.

• Bước 1: Tìm các điểm $v(t)=0$trong$[0, 2\pi]$: $2\sin(t) + 1 = 0 \implies \sin(t) = -\frac{1}{2}$Trong$[0,2\pi]$có $t_1 = \frac{7\pi}{6}$, $t_2 = \frac{11\pi}{6}$-$v(0) = 1 > 0$-$v(t)$ âm trong$(t_1, t_2)$; dương ở các khoảng còn lại.

• Bước 2: Tính quãng đường: $S = \int_0^{t_1} v(t)dt + \int_{t_1}^{t_2} |v(t)|dt + \int_{t_2}^{2\pi} v(t)dt$Do$v(t)$ âm trên$(t_1, t_2) \Rightarrow |v(t)| = -(2\sin(t) + 1)$ ở đoạn này.

• Bước 3: Tính từng phần:$\int v(t)dt = -2\cos(t) + t$-$I_1 = [-2\cos(t) + t]_{0}^{t_1}$-$I_2 = [2\cos(t) - t]_{t_1}^{t_2}$-$I_3 = [-2\cos(t) + t]_{t_2}^{2\pi}$Cộng lại ta được quãng đường.

(Phép tính chi tiết để học sinh tự luyện tập bên dưới)

8. Bài tập thực hành tự luyện

• 1. Một vật xuất phát từ $s(0) = 0$chuyển động với$v(t) = t - 4$. Tính vị trí tại$t = 3$và quãng đường đã đi trong$[0,3]$.
• 2. Cho vận tốc$v(t) = 4 - 2t$,$t \in [0,5]$. Tìm thời điểm vật dừng lại và tính quãng đường vật đi từ $t=0$ đến$t=5$.
• 3. Vật chuyển động với$a(t) = 6t$, biết lúc$t=0$,$v = 2$,$s = 1$. Tìm vị trí vật tại$t=2$.
• 4. Vật chuyển động với$v(t) = \cos(t)$trên$[0, 2\pi]$. Tính quãng đường vật đi.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• - Luôn xác định các điểm$v(t) = 0$ để chia khoảng khi tính quãng đường (khác với vị trí tổng quát!).
• - Đọc kỹ yêu cầu 'quãng đường' khác 'độ dời vị trí', xử lý giá trị tuyệt đối chính xác.
• - Đề bài có nhiều điều kiện đầu, kiểm tra thật kỹ để không mất điểm ở bước đặt hằng số.
• - Chú ý đơn vị trong đáp số: m, s, km/h… không nhầm lẫn.
• - Khi giải bài tích phân, nhớ kiểm tra lại phép biến đổi & chú ý các hằng số cộng khi lấy nguyên hàm.
• - Vận tốc đổi chiều nhiều lần -> CHẮC CHẮN phải chia đủ khoảng, KHÔNG cộng/trừ đơn giản.