Chiến lược giải bài toán khảo sát hàm bậc ba có chứa tham số cho lớp 12

Chiến lược giải bài toán khảo sát hàm bậc ba có chứa tham số cho lớp 12

Khảo sát hàm bậc ba có chứa tham số là dạng bài toán rất quan trọng trong chương trình Toán 12, giúp học sinh rèn luyện kỹ năng vận dụng linh hoạt kiến thức về đạo hàm, điều kiện cực trị, và phân tích đồ thị hàm số. Đây là một trong những nội dung trọng tâm của Chương I – Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản.

1. Giới thiệu về bài toán và lý do cần học

Hàm bậc ba chứa tham số thường có dạng tổng quát:y = ax^3 + bx^2 + cx + d, trong đó $a, b, c, d$là các hằng số, đặc biệt hằng số $b$hoặc$c$(thậm chí cả $a$) có thể chứa tham số $m$. Bài toán khảo sát loại hàm số này không những giúp nâng cao tư duy lý luận mà còn rất hay xuất hiện trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia cũng như luyện thi đại học.

2. Đặc điểm của loại bài toán khảo sát hàm bậc ba chứa tham số

• • Thường liên quan tới việc xác định điều kiện về tham số để hàm số có đặc điểm cực trị (số điểm cực trị, vị trí, giá trị,…), tiếp xúc trục hoành, cắt trục tung, xác định tính đơn điệu, hay đặc điểm đặc biệt của đồ thị.
• • Yêu cầu thành thạo về đạo hàm, giải bất phương trình bậc hai/tham số, và hiểu bản chất đồ thị hàm bậc ba.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

• • Xác định dạng tổng quát của hàm bậc ba có tham số.
• • Tính đạo hàm$y'$và tìm các điều kiện liên quan đến cực trị.
• • Thiết lập phương trình đạo hàm$y'=0$thành phương trình bậc hai theo$x$và xét điều kiện về số nghiệm theo tham số.
• • Phân biệt từng yêu cầu: số điểm cực trị, tính đơn điệu, vị trí tương đối điểm cực trị, hoặc các bài toán yêu cầu tham số thỏa mãn điều kiện riêng.
• • Giải quyết bài toán bằng lập luận logic và biện luận nghiệm, kết hợp vẽ bảng biến thiên hoặc phác thảo đồ thị nếu cần.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ minh họa: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y = x^3 - 3mx^2 + 3(m^2 - 1)x + 5$(tham số $m$) và tìm điều kiện của$m$ để hàm số có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua trục hoành.

• Bước 1: Tính đạo hàm và lập phương trình tìm điểm cực trị.
• + Đạo hàm:$y' = 3x^2 - 6mx + 3(m^2 - 1)$
• +$y' = 0 \Leftrightarrow 3x^2 - 6mx + 3(m^2 - 1) = 0 \Leftrightarrow x^2 - 2mx + m^2 - 1 = 0$
• Bước 2: Tìm điều kiện có hai nghiệm phân biệt của phương trình (hàm có 2 cực trị)
• + Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt$\Leftrightarrow \Delta' > 0$
• $\Delta' = m^2 - m^2 + 1 = 1 > 0$→ Luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi$m$.
• Bước 3: Tìm điều kiện hai điểm cực trị đối xứng nhau qua trục hoành.
• + Gọi$x_1, x_2$là các nghiệm ở trên. Ta có trung bình cộng$\frac{x_1 + x_2}{2} = m$(tính chất nghiệm).
• + Giá trị tại cực trị:$y(x) = x^3 - 3mx^2 + 3(m^2 - 1)x + 5$
• + Hai giá trị này đối nhau →$y(x_1) + y(x_2) = 0$(do đối xứng nhau qua trục hoành).
• + Thay$x_1 + x_2 = 2m$,$x_1x_2 = m^2 - 1$. Tính$y(x_1) + y(x_2)$theo$m$, giải điều kiện này.
• + Kết quả: sau các bước biến đổi, tìm ra điều kiện$m = \pm 1$.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• • Đạo hàm của hàm bậc ba: Nếu$y = ax^3 + bx^2 + cx + d$, thì $y' = 3ax^2 + 2bx + c$
• • Phương trình cực trị:$y'=0$⇒ phương trình bậc hai, số cực trị phụ thuộc vào$riangle = (2b)^2 - 4<em>3a</em>c$
• • Vị trí, giá trị cực trị: Thay nghiệm vào$y(x)$.
• • Đặc điểm đồ thị: Hàm bậc ba có 1 cực trị (nếu phân biệt) hoặc 2 cực trị.
• • Điều kiện đồng biến/nghịch biến trên từng đoạn xác định qua dấu$y'$.

6. Các biến thể và điều chỉnh chiến lược giải

• • Tìm tham số để hàm số đạt cực đại/cực tiểu tại điểm cho trước: Lặp lại các bước, nhưng thêm điều kiện$y'(x_0) = 0$.
• • Tìm tham số để giá trị cực trị bằng nhau hoặc có tính chất hình học đặc biệt: Xét thêm phương trình phụ về giá trị cực trị.
• • Khảo sát tính đơn điệu, điểm uốn: Chú ý đạo hàm bậc hai$y''$.

7. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập: Khảo sát sự biến thiên và tìm điều kiện của tham số $m$ để đồ thị hàm$y = x^3 + mx^2 + (m^2 - 3)x + 1$có hai điểm cực trị cùng dấu.

• Bước 1: Tính$y'$:$y' = 3x^2 + 2mx + (m^2 - 3)$.
• Bước 2: Giải$y' = 0$ để tìm các điểm cực trị:
• $3x^2 + 2mx + m^2 - 3 = 0$có hai nghiệm phân biệt khi$\Delta = 4m^2 - 12(m^2 - 3) > 0 \Leftrightarrow 4m^2 - 12m^2 + 36 > 0 \Leftrightarrow -8m^2 + 36 > 0 \Leftrightarrow m^2 < 4.5$
• Bước 3: Tìm điều kiện hai giá trị cực trị cùng dấu: Thay$x_1, x_2$vào hàm số, xét dấu của$y(x_1)$và $y(x_2)$.
• Giải tiếp các bất phương trình để tìm miền giá trị của$m$.

8. Bài tập tự luyện

• 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:$y = x^3 + (m-2)x^2 + (m^2-3m+2)x + 3$với$m$tham số. Tìm$m$ để hai điểm cực trị khác dấu.
• 2. Cho hàm số $y = 2x^3 + 3mx^2 + 6x + 1$. Tìm$m$ để hàm số có điểm cực đại bé hơn điểm cực tiểu.
• 3. Tìm$m$để đồ thị hàm số$y = x^3 + 2mx^2 + 4x + 1$tiếp xúc với trục hoành tại đúng một điểm.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• • Nhớ kiểm tra điều kiện có hai nghiệm phân biệt của phương trình bậc hai$y'=0$.
• • Khi tính giá trị cực trị, thay nghiệm vào hàm gốc chứ không nhẩm bằng dấu$y'$.
• • Biện luận theo tham số chặt chẽ, tránh sót trường hợp đặc biệt (như $m = 0$,$m = 1$,…).
• • Đọc kĩ đề để xác định rõ yêu cầu về số nghiệm, dấu, vị trí tương đối, tính đối xứng,…