1. Giới thiệu về bài toán khảo sát hàm phân thức có chứa tham số

Khảo sát hàm phân thức có chứa tham số là một trong những dạng bài toán quan trọng bậc nhất chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số lớp 12. Dạng bài này thường xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia, kiểm tra học kỳ, kiểm tra đánh giá năng lực... Bài toán không chỉ yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức đạo hàm, khảo sát hàm số, mà còn phải kết hợp kỹ năng biến đổi đại số, phân tích điều kiện xác định, xét dấu và tư duy logic giải quyết tham số. Việc thành thạo cách giải bài toán khảo sát hàm phân thức có chứa tham số sẽ giúp học sinh giải quyết hiệu quả các bài tập khó và đạt điểm tối đa ở phần Toán giải tích.

2. Đặc điểm của bài toán khảo sát hàm phân thức có chứa tham số

Bài toán thường đưa ra dạng hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất hoặc bậc hai trên bậc nhất/bậc hai, có chứa một hoặc nhiều tham số (thường ký hiệu$m$,$a$,$b$,$k$...). Nhiệm vụ của học sinh là xét các yếu tố sau: điều kiện xác định, tìm cực trị, tiệm cận, sự biến thiên, và đặc biệt là tìm giá trị của tham số để hàm số thỏa mãn tính chất nào đó (có cực trị, cực trị cùng dấu/trái dấu, đạt giá trị lớn nhất – nhỏ nhất tại vị trí cho trước, v.v.). Tính chất quan trọng của bài toán này là phải giải quyết các bất phương trình, hệ phương trình hoặc điều kiện về tham số dựa trên các yếu tố biến thiên đã tìm được.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Để giải quyết bài toán khảo sát hàm phân thức có chứa tham số, cần tuân theo các bước logic sau:

• 1. Xác định điều kiện xác định (TXĐ) của hàm số.
• 2. Tìm các điểm đặc biệt: nghiệm của tử mẫu, điểm hàm số không xác định.
• 3. Tìm đạo hàm, xác định dấu đạo hàm để xét chiều biến thiên.
• 4. Tìm cực trị và điều kiện để hàm số có cực trị (tùy vào yêu cầu bài toán, liên quan đến tham số).
• 5. Xác định tiệm cận đứng, tiệm cận ngang (hoặc xiên nếu có) tùy thuộc số bậc tử và mẫu.
• 6. Xét các yếu tố đặc biệt theo yêu cầu đề bài: cùng dấu, trái dấu, lớn hơn/nhỏ hơn một số đã cho, cực trị đạt tại điểm xác định trước...
• 7. Ghép toàn bộ điều kiện về tham số để chọn giá trị phù hợp.

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số $y = \frac{x + m}{x - 1}$. Khảo sát sự tồn tại cực trị của hàm số theo$m$. Tìm$m$ để hàm số đạt cực trị tại$x = 3$.

Bước 1: Xác định điều kiện xác định

Hàm số xác định khi$x - 1 <br>e 0 \Rightarrow x <br>e 1$.

Bước 2: Tính đạo hàm và xác định điểm cực trị

Ta có:$y = \frac{x + m}{x - 1}$

Áp dụng quy tắc đạo hàm của phân thức:

$y' = \frac{(1)(x-1) - (x+m)(1)}{(x-1)^2} = \frac{x-1-(x+m)}{(x-1)^2} = \frac{-1 - m}{(x-1)^2}$

Hàm số có cực trị khi$y' = 0$và $x$thuộc TXĐ. Ta thấy rằng:$y' = 0 \Leftrightarrow -1 - m = 0 \Rightarrow m = -1$(công thức này không phụ thuộc$x$).

Vậy chỉ khi$m = -1$thì hàm số có cực trị tại mọi$x$(không phụ thuộc$x$).

Tuy nhiên xét lại, do mẫu số bậc hai luôn dương với$x <br>e 1$, dấu của$-1 - m$quyết định chiều biến thiên. Nếu$-1 - m > 0$thì $y' > 0$trên TXĐ, hàm luôn đồng biến; nếu$-1 - m < 0$hàm luôn nghịch biến.

• Nếu$m > -1$,$y' < 0$, hàm nghịch biến.
• Nếu$m < -1$,$y' > 0$, hàm đồng biến.
• Nếu$m = -1$,$y' = 0$, hàm số không có cực trị.

Vậy với mọi$m <br>e -1$, hàm không có cực trị.

Bước 3: Điều kiện tham số để hàm số đạt cực trị tại$x = 3$

Để hàm số đạt cực trị tại$x = 3$, phải có $y'(3) = 0$, tức:

$y'(3) = \frac{-1 - m}{(3-1)^2} = 0 \Rightarrow -1 - m = 0 \Rightarrow m = -1$

Kết luận:$m = -1$thỏa mãn điều kiện để hàm đạt cực trị tại$x = 3$

Bước 4: Xét tiệm cận

Tiệm cận đứng:$x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1$Tiệm cận ngang: Lấy giới hạn$x \rightarrow \infty$:$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x + m}{x - 1} = 1$nên có tiệm cận ngang$y = 1$.

Bước 5: Kết luận và liên hệ với các bài toán khác

Quy trình trên có thể áp dụng hiệu quả cho các hàm phân thức phức tạp hơn – lưu ý xác định đạo hàm tổng quát theo$x$và tham số, phân tích về dấu, giải điều kiện cực trị hoặc các tính chất đề bài yêu cầu.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Công thức đạo hàm phân thức:$\displaystyle \left( \frac{u(x)}{v(x)} \right)' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$
• Điều kiện xác định: Mẫu số khác$0$
• Tiệm cận ngang:$\lim_{x\to \infty} y$và $\lim_{x\to -\infty} y$
• Tiệm cận đứng: Tìm$x$ để mẫu số bằng$0$
• Nghiệm của$y'(x)=0$(thuộc TXĐ) xác định điểm cực trị
• So sánh giá trị để xét dấu hoặc mối quan hệ giữa các tham số

6. Biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

Một số biến thể phổ biến:

• Hàm số chứa tham số ở cả tử và mẫu, hoặc trong hệ số bậc cao.
• Yêu cầu tìm tham số để hàm số luôn đồng biến/nghịch biến, hoặc có cực trị thoả các quan hệ cụ thể (lớn hơn, nhỏ hơn, cùng dấu, trái dấu).
• Khảo sát sự thay đổi số nghiệm của phương trình chứa phân thức khi tham số biến thiên.

Điều chỉnh chiến lược:

• Luôn xét điều kiện tham số với từng trường hợp.
• Nếu là phân thức bậc hai trên bậc nhất hoặc ngược lại, sử dụng đạo hàm và phân tích dấu đạo hàm cẩn thận.
• Nhiều tham số: Chia ra từng trường hợp, lập hệ điều kiện phù hợp.
• Nếu cần giá trị cực trị thỏa mãn điều kiện, sau khi giải$y'(x)=0$thay vào$y(x)$, dựng bất phương trình về tham số.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho hàm số $y = \frac{2x + m}{x - 2}$.
(a) Tìm$m$ để hàm số có cực trị.
(b) Tìm$m$ để hàm có cực trị tại$x = -1$.
(c) Xác định các tiệm cận của hàm.

Lời giải từng bước

TXĐ:$x - 2 <br>e 0 \Rightarrow x <br>e 2$.
Đạo hàm:$y' = \frac{2(x-2) - (2x + m) \cdot 1}{(x-2)^2} = \frac{2x - 4 - 2x - m}{(x - 2)^2} = \frac{-4 - m}{(x-2)^2}$
(a) Để có cực trị:$y' = 0 \Leftrightarrow -4 - m = 0 \Rightarrow m = -4$.
(b) Có cực trị tại$x = -1$,$y'(-1) = 0$cũng cho ra$-4 - m = 0 \Rightarrow m = -4$(không phụ thuộc$x$).
(c) Tiệm cận đứng:$x = 2$; Tiệm cận ngang:$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{2x + m}{x - 2} = 2$, nên tiệm cận ngang$y = 2$.

8. Bài tập thực hành

Học sinh hãy tự giải các bài tập sau:

• Bài 1: Cho$y = \frac{x + m}{x + 2}$. Tìm$m$ để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
• Bài 2: Với$y = \frac{x^2 + mx + 1}{x + 1}$, tìm$m$ để hàm số có cực trị cùng dấu.
• Bài 3: Cho hàm$y = \frac{mx + 1}{x - m}$, xác định$m$ để hàm số có tiệm cận ngang.

Học sinh nên trình bày rõ từng bước giải, vận dụng kỹ năng đạo hàm, xét dấu, tìm điều kiện tham số như ví dụ mẫu.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm khi giải

• Ghi nhớ kỹ điều kiện xác định và luôn loại bỏ các nghiệm thuộc mẫu số bằng$0$.
• Kiểm tra kỹ xem đạo hàm theo$x$còn phụ thuộc tham số hay không, tránh nhầm lẫn khi giải bất phương trình.
• Thay giá trị tham số vào hàm hoặc vào đạo hàm để kiểm tra lại điều kiện.
• Vẽ bảng biến thiên để dễ hình dung chiều biến thiên của hàm số theo từng trường hợp tham số.
• Chia nhỏ bài toán nếu gặp hàm phức tạp hoặc có nhiều tham số, giải tuần tự từng bước.

Kết luận

Dạng bài khảo sát hàm phân thức chứa tham số khá đa dạng, nhưng nếu tuân thủ đúng quy trình "Tìm TXĐ → Đạo hàm → Xét dấu → Điều kiện tham số → Đáp án", học sinh sẽ chủ động làm chủ được mọi biến thể đề bài. Hãy luyện tập thường xuyên, trau dồi khả năng biến đổi đại số, và tuyệt đối ghi nhớ các công thức và kỹ thuật cơ bản!