Chiến lược giải bài toán khảo sát hàm phân thức có chứa tham số lớp 12

1. Giới thiệu về bài toán khảo sát hàm phân thức có chứa tham số

Bài toán khảo sát hàm phân thức có chứa tham số là dạng bài tập quan trọng trong chương "Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số" Toán 12. Loại bài toán này thường xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia với nhiều mức độ phân hóa từ cơ bản đến nâng cao, giúp rèn luyện kỹ năng vận dụng linh hoạt các kiến thức về đạo hàm, khảo sát hàm số và kỹ thuật xử lý tham số.

2. Đặc điểm của bài toán khảo sát hàm phân thức có tham số

• Hàm số thường có dạng$y = \frac{ax + b}{cx + d}$hoặc biến thể phức tạp hơn với$a, b, c, d$là các tham số (hoặc trong đó có một biến số là tham số $m$,$k$,...).
• Yêu cầu bài toán là khảo sát và vẽ đồ thị với các giá trị tham số, hoặc tìm điều kiện của tham số để hàm có các tính chất đặc biệt (nghiệm, cực trị, tiếp tuyến, ...).
• Có thể hỏi về các tính chất như: miền xác định, tiệm cận, cực trị, giá trị lớn nhất/nhỏ nhất, tương giao với trục hoành/trục tung, bài toán tiếp tuyến song song hoặc vuông góc với đường thẳng cho trước...

3. Chiến lược tiếp cận bài toán khảo sát hàm phân thức có tham số

Để làm tốt loại bài này, bạn cần nắm vững kỹ thuật khảo sát hàm phân thức và các nguyên tắc xử lý tham số. Chiến lược chung:

1. Giới thiệu dạng tổng quát của hàm phân thức chứa tham số, xác định các tham số cần quan tâm.
2. Xác định miền xác định ($TXĐ$) của hàm số dựa vào điều kiện mẫu khác 0.
3. Tìm các tiệm cận đứng, tiệm cận ngang (hoặc xiên) tuỳ dạng hàm.
4. Tính đạo hàm để khảo sát sự biến thiên, tìm cực trị, điểm uốn nếu có.
5. Thiết lập điều kiện của tham số theo yêu cầu bài toán (ví dụ: để hàm đồng biến...).
6. Biện luận theo từng trường hợp giá trị của tham số.

4. Các bước giải bài toán khảo sát hàm phân thức chứa tham số – Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y = \frac{x + m}{x - 1}$với$m$là tham số.

• Bước 1: Xác định miền xác định
  $x - 1 e 0 \implies x e 1.$
• Bước 2: Tìm tiệm cận
  Tiệm cận đứng:$x = 1$.
  Tiệm cận ngang:$\lim\limits_{x \to \pm \infty} y = 1$.
• Bước 3: Tính đạo hàm – Khảo sát cực trị
  $y' = \frac{(1)(x-1) - (x + m)(1)}{(x - 1)^2} = \frac{x - 1 - x - m}{(x - 1)^2} = \frac{-1 - m}{(x - 1)^2}$
  Hàm số không có cực trị nếu$-1 - m \ne 0$(hàm số đồng biến/nghịch biến trên từng khoảng xác định).
  Đạo hàm$y' = 0$khi$m = -1$, khi đó hàm số ở dạng$y = \frac{x - 1}{x - 1} = 1$(trừ $x = 1$).
• Bước 4: Biện luận theo tham số $m$
  - Nếu$m \ne -1$:$y'$luôn cùng dấu (trừ $x = 1$). Nếu$-1 - m > 0$(tức$m < -1$),$y' > 0$nên hàm đồng biến; nếu$m > -1$,$y' < 0$nên hàm nghịch biến.
• - Nếu$m = -1$: Hàm không xác định tại$x=1$nhưng là hằng số $y=1$ ở mọi$x \ne 1$.

Từ đó, vẽ bảng biến thiên cho từng trường hợp của$m$, chỉ rõ tiệm cận và miền xác định.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Miền xác định:$cx + d \ne 0 \implies x \ne -\frac{d}{c}$(nếu$c \ne 0$).
• Tiệm cận đứng: Nghiệm của mẫu số bằng 0 và không triệt tiêu với tử số.
• Tiệm cận ngang: Xét giới hạn của hàm số khi$x \to \pm \infty$.
• Đạo hàm:$y = \frac{u(x)}{v(x)} \implies y' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$.
• Tìm cực trị: Giải phương trình$y' = 0$(chú ý loại nghiệm ngoài miền xác định hoặc làm mẫu số triệt tiêu).
• Ứng dụng tính đạo hàm theo tham số: Khi khảo sát theo$m$, xác định điều kiện của$m$ để hàm thỏa mãn tính chất bài toán yêu cầu.

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

• Bài toán khảo sát với hàm chứa tham số ở cả tử và mẫu, hoặc có bậc tử số/mẫu số lớn hơn 1.
• Tìm điều kiện của tham số để hàm có cực trị, cực trị trùng, hoặc đạt giá trị lớn nhất/nhỏ nhất.
• Các bài toán thiết lập điều kiện để tiếp tuyến đồ thị hàm số thỏa mãn yêu cầu đặc biệt (song song, vuông góc, đi qua điểm cố định…).
• Khi tham số xuất hiện ở nhiều vị trí, hãy phân biệt trường hợp và xếp vào các nhóm biện luận hợp lý để tránh bỏ sót.

7. Bài tập mẫu và hướng dẫn giải chi tiết

Bài tập 1:
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y = \frac{2x + m}{x - 2}$($m$là tham số). Tìm$m$ để hàm có cực trị.

• - TXĐ:$x - 2 \ne 0 \implies x \ne 2$.
• - Tiệm cận đứng:$x = 2$.
• - Tiệm cận ngang:$\lim\limits_{x \to \pm \infty} y = 2$.
• - Đạo hàm:
  $y' = \frac{2(x - 2) - (2x + m) \cdot 1}{(x - 2)^2} = \frac{2x - 4 - 2x - m}{(x - 2)^2} = \frac{-4 - m}{(x - 2)^2}$
  -$y' = 0 \implies -4 - m = 0 \implies m = -4$.
• - Nếu$m \ne -4$, đạo hàm cùng dấu trên miền xác định (trừ $x = 2$). Nếu$-4 - m > 0$(tức$m < -4$) thì hàm đồng biến; nếu$-4 - m < 0$($m > -4$) thì hàm nghịch biến.
• - Nếu$m = -4$, hàm số trở thành$y = \frac{2x - 4}{x - 2} = 2$($x \ne 2$) là hằng số (không có cực trị tại$x \ne 2$).

Kết luận: Hàm số chỉ có cực trị khi$m$nhận một giá trị duy nhất là $m = -4$(nhưng thực ra là một hàm hằng trên miền xác định). Nếu$m \ne -4$thì hàm đồng biến hoặc nghịch biến tuỳ dấu của$-4 - m$.

8. Bài tập thực hành tự luyện

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y = \frac{x + m}{2x - 1}$($m$là tham số). Tìm$m$ để đồ thị đi qua điểm$A(1; 2)$.
2. Cho hàm số $y = \frac{mx - 1}{x + 2}$, tìm$m$ để hàm đạt giá trị lớn nhất tại$x = 0$.
3. Khảo sát và biện luận số nghiệm của phương trình$\frac{x + m}{x - 1} = 2$theo$m$.

9. Mẹo và lưu ý quan trọng

• Luôn xác định kỹ miền xác định trước mọi phép biến đổi, đặc biệt khi tham số ảnh hưởng đến mẫu số.
• Khi khảo sát với tham số, hãy biện luận theo từng giá trị đặc biệt (làm tử/mẫu triệt tiêu), chú ý các trường hợp ngoại lệ.
• Với các dạng bài toán tìm m để hàm có tính chất đặc biệt, hãy lập phương trình theo điều kiện bài toán rồi biện luận đủ các trường hợp.
• Thường xuyên thể hiện bảng biến thiên để tránh bỏ sót nghiệm hay dấu đạo hàm.
• Rèn kỹ năng tính đạo hàm phân thức, nhớ kiểm tra miền xác định của nghiệm hoặc các đặc điểm theo$m$.