Chiến lược giải quyết bài toán Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm lớp 12

1. Giới thiệu về bài toán "Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm" và ý nghĩa

Bài toán về khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là một trong những chủ điểm quan trọng trong chương trình Toán lớp 12, đặc biệt trong chuyên đề Thống kê và xác suất. Khoảng biến thiên là một số đo chỉ độ phân tán của một tập hợp số liệu, thể hiện sự khác biệt giữa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mẫu số liệu. Khi các số liệu được chia thành từng nhóm (lớp), việc xác định khoảng biến thiên đòi hỏi kỹ năng đọc bảng tần số và xử lý thông tin thống kê.

Loại bài toán này thường xuất hiện trong đề thi THPT quốc gia, các kỳ kiểm tra thống kê hay trong thực tiễn khi cần xử lý dữ liệu lớn. Việc nắm vững cách giải bài toán khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm giúp học sinh xây dựng nền tảng vững chắc về phân tích dữ liệu, hình thành tư duy thống kê và vận dụng vào nhiều dạng bài khác.

2. Đặc điểm của bài toán

• Dữ liệu được chia thành các nhóm (lớp) không giao nhau, mỗi nhóm đặc trưng bởi một khoảng giá trị.
• Không biết cụ thể giá trị từng phần tử; chỉ biết chúng thuộc từng nhóm.
• Số liệu thường thể hiện dưới dạng bảng tần số ghép nhóm.
• Các nhóm được thể hiện qua 'cận dưới' và 'cận trên' của mỗi lớp, ví dụ: [10; 20), [20; 30)...

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Chiến lược tổng quát để giải loại bài này gồm 3 bước lớn:

• Xác định đúng cận nhỏ nhất của lớp thấp nhất và cận lớn nhất của lớp cao nhất.
• Cẩn trọng với cách mở lớp (kí hiệu ngoặc): nhóm [a; b) nghĩa là lấy từ a đến < b.
• Áp dụng trực tiếp công thức khoảng biến thiên:$R = x_{max} - x_{min}$, với$x_{min}$là cận dưới lớp nhỏ nhất,$x_{max}$là cận trên lớp lớn nhất.

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Giả sử bảng tần số như sau:

Lớp      | Tần số
----------------------
[10; 20) | 4
[20; 30) | 7
[30; 40) | 5

Các bước giải:

1. Xác định cận dưới của lớp nhỏ nhất: với lớp [10; 20),$x_{min} = 10$.
2. Xác định cận trên của lớp lớn nhất: với lớp [30; 40),$x_{max} = 40$.
3. Áp dụng công thức:
   $R = x_{max} - x_{min} = 40 - 10 = 30$

Chú ý: Không dùng giá trị trung bình hay giá trị đại diện; chỉ cần cận dưới (lớp nhỏ nhất) và cận trên (lớp lớn nhất)!

5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Công thức khoảng biến thiên:
  $R = x_{max} - x_{min}$
• $x_{max}$là cận trên lớp lớn nhất theo bảng tần số;$x_{min}$là cận dưới lớp nhỏ nhất.
• Chú ý cách viết lớp: [a; b) hoặc (a; b], phải đọc kỹ ký hiệu để không bị nhầm lẫn.

6. Các biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

• Nhận biết khi đề cho lớp dạng (a; b] hay [a; b): Dùng đúng cận phù hợp.
• Nếu bảng thiếu lớp: Xem kỹ đề! Đôi khi lớp đầu (hoặc cuối) có thể không ghi rõ cận dưới (hoặc trên) – cần đọc kỹ chú thích hoặc suy luận.
• Bài toán yêu cầu tính thêm các đại lượng khác (trung bình, tứ phân vị): vận dụng kỹ thuật bổ sung, nhưng vẫn giữ nguyên chiến lược xác định cận nhỏ nhất, lớn nhất.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết theo từng bước

Bài tập mẫu: Cho bảng số liệu ghép nhóm sau:

Lớp        | Tần số
----------------------
[12; 18)   | 3
[18; 24)   | 7
[24; 30)   | 9
[30; 36)   | 4

Giải:

1. Lớp nhỏ nhất là [12; 18), cận dưới$x_{min} = 12$.
2. Lớp lớn nhất là [30; 36), cận trên$x_{max} = 36$.
3. Áp dụng công thức khoảng biến thiên:
   $R = x_{max} - x_{min} = 36 - 12 = 24$
4. Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu là 24.

8. Bài tập thực hành

Học sinh tự giải các bài sau bằng cách áp dụng đúng quy trình đã học.

• Bài 1: Cho bảng sau:
  Lớp | Tần số
  -------------------
  [5; 12) | 2
  [12; 19) | 6
  [19; 26) | 9
  [26; 33) | 3
  Tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu.
• Bài 2: Với bảng tần số:
  Lớp | Tần số
  ----------------------
  [40; 50) | 1
  [50; 60) | 5
  [60; 70) | 7
  [70; 80) | 3
  Khoảng biến thiên là bao nhiêu?
• Bài 3: Dữ liệu:
  Lớp | Tần số
  ---------------------
  [0; 2) | 4
  [2; 6) | 6
  [6; 10) | 8
  [10; 14) | 2
  Xác định khoảng biến thiên.

9. Các mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Đọc thật kỹ ký hiệu lớp: [a; b) nghĩa là lấy từ a đến dưới b; (a; b] nghĩa là lấy trên a và đến b.
• Không nhầm giữa cận trên/lớp lớn nhất và giá trị trung bình/cận dưới.
• Không lấy giá trị đại diện lớp (trung điểm lớp) khi tính khoảng biến thiên.
• Nếu có lớp mở (cận nhỏ/lớn không xác định), phải đọc kỹ đầu bài hoặc sử dụng thông tin bổ sung trong đề.
• Lưu ý so sánh dữ liệu khi bảng có nhiều hơn một dãy số liệu ghép nhóm.