Chiến lược giải bài toán khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau lớp 12

1. Giới thiệu về bài toán khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Bài toán "khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau" là một trong những dạng bài điển hình của chương Hình học không gian trong chương trình Toán lớp 12. Hiểu cách giải bài toán này không chỉ giúp học sinh làm tốt các đề kiểm tra, thi tốt nghiệp THPT Quốc gia, mà còn rèn luyện tư duy hình học, kỹ năng nhận diện đối tượng không gian và vận dụng linh hoạt các phương pháp tọa độ Oxyz. Đây cũng là nền tảng quan trọng cho nhiều vấn đề hình học không gian khác.

2. Đặc điểm của bài toán khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Hai đường thẳng chéo nhau trong không gian là hai đường thẳng không cùng nằm trên một mặt phẳng, không song song và cũng không cắt nhau. Đặc điểm nhận biết:

• Không có điểm chung (không giao nhau).
• Không song song (véc-tơ chỉ phương khác phương).
• Không cùng nằm trong một mặt phẳng.

Nhiệm vụ của bài toán là tìm khoảng cách ngắn nhất giữa hai đường thẳng như thế, hay chính là chiều dài đoạn vuông góc chung ngắn nhất nối từ đường này sang đường kia.

3. Chiến lược tổng thể để giải bài toán

Để giải nhanh và chính xác bài toán "khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau", bạn nên:

• Biểu diễn hai đường thẳng dưới dạng tham số trong hệ tọa độ Oxyz.
• Chọn hai điểm$A$và $B$lần lượt trên từng đường thẳng.
• Tìm véc-tơ chỉ phương của từng đường thẳng.
• Xác định véc-tơ vuông góc chung bằng tích có hướng (véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa 2 véc-tơ chỉ phương).
• Áp dụng công thức tính khoảng cách dựa trên hình học véc-tơ trong không gian.

4. Các bước giải bài toán chi tiết kèm ví dụ minh họa

Giả sử hai đường thẳng chéo nhau được cho bởi các phương trình tham số:

Các bước giải chi tiết:

• Bước 1: Lấy một điểm$A(x_1, y_1, z_1)$thuộc$\Delta_1$, một điểm$B(x_2, y_2, z_2)$thuộc$\Delta_2$.
• Bước 2: Xác định véc-tơ $\mathbf{u}_1 = (a_1, b_1, c_1)$chỉ phương của$\Delta_1$, véc-tơ $\mathbf{u}_2 = (a_2, b_2, c_2)$chỉ phương của$\Delta_2$.
• Bước 3: Tính véc-tơ $\mathbf{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$.
• Bước 4: Tính véc-tơ pháp tuyến$\mathbf{n} = \mathbf{u}_1 \times \mathbf{u}_2$.
• Bước 5: Áp dụng công thức khoảng cách:$d = \frac{|\mathbf{AB} \cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{n}|}$

Ví dụ minh họa

Cho hai đường thẳng:

$\Delta_1: \frac{x-1}{2} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{3}, \quad \Delta_2: \frac{x}{1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z+1}{-1}$

• Chọn$A(1, 0, 0) \in \Delta_1$,$B(0, 2, -1) \in \Delta_2$.
• Véc-tơ chỉ phương$\mathbf{u}_1 = (2, -1, 3)$;$\mathbf{u}_2 = (1, 2, -1)$.
• $\mathbf{AB} = (0 - 1, 2 - 0, -1 - 0) = (-1, 2, -1)$.
• Tích có hướng$\mathbf{n} = \mathbf{u}_1 \times \mathbf{u}_2$:

Độ dài véc-tơ $\mathbf{n}: |\mathbf{n}| = \sqrt{5^2 + (-5)^2 + 5^2} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$

Tính$|\mathbf{AB} \cdot \mathbf{n}|$:$\mathbf{AB} \cdot \mathbf{n} = (-1) \cdot 5 + 2 \cdot (-5) + (-1) \cdot 5 = -5 -10 -5 = -20 \Rightarrow |-20|=20$

Vậy $d = \frac{20}{5\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Tích có hướng của hai véc-tơ $\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)$và $\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)$:

\mathbf{a}$\times$\mathbf{b} =$(a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)$

• Tích vô hướng$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$.
• Công thức tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau$\Delta_1, \Delta_2$:

$d = \frac{|\mathbf{AB} \cdot (\mathbf{u}_1 \times \mathbf{u}_2)|}{|\mathbf{u}_1 \times \mathbf{u}_2|}$

6. Các biến thể bài toán và điều chỉnh chiến lược

• Bài toán cho đường thẳng dưới các dạng khác nhau (dạng chính tắc, dạng tổng quát, dạng tham số): Chuyển về dạng tham số để giải.
• Bài toán yêu cầu tìm tọa độ hai điểm thuộc hai đường thẳng sao cho đoạn nối là đoạn vuông góc chung: Dùng thêm hệ phương trình vuông góc để tìm tọa độ.
• Bài toán ứng dụng: Dựng mặt phẳng chứa một đường thẳng và song song với đường thẳng còn lại, khoảng cách giữa hai đường thẳng là khoảng cách từ điểm bất kỳ trên một đường tới mặt phẳng này.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài toán: Cho hai đường thẳng

• Chọn$A(1, -1, 0) \in \Delta_1$,$B(2, 1, 1) \in \Delta_2$.
• $\mathbf{u}_1 = (1, 2, 3)$,$\mathbf{u}_2 = (2, 1, -1)$.
• $\mathbf{AB} = (2 - 1, 1 - (-1), 1 - 0) = (1, 2, 1)$.
• $$\mathbf{n} = \mathbf{u}_1 \times \mathbf{u}_2 = \begin{vmatrix*} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \\\end{vmatrix*} = ((2 \cdot -1 - 3 \cdot 1), (3 \cdot 2 - 1 \cdot -1), (1 \cdot 1 - 2 \cdot 2)) = (-5, 7, -3)$$
• $|\mathbf{n}| = \sqrt{(-5)^2 + 7^2 + (-3)^2} = \sqrt{25 + 49 + 9} = \sqrt{83}$
• $|\mathbf{AB} \cdot \mathbf{n}| = |1 \cdot (-5) + 2 \cdot 7 + 1 \cdot (-3)| = |-5 + 14 -3| = |6| = 6$
• Vậy $d = \frac{6}{\sqrt{83}}$.

8. Bài tập thực hành

1. Cho$\Delta_1: \frac{x-1}{1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z}{-1}$,$\Delta_2: \frac{x}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{1}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng.
2. Cho$\Delta_1: x = t, y = 2t, z = 1$,$\Delta_2: x = 1, y = s, z = 2s$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng.
3. Tìm tọa độ đoạn vuông góc chung ngắn nhất giữa hai đường thẳng$\Delta_1: \frac{x-2}{3} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z}{2}$và $\Delta_2: \frac{x+1}{1} = \frac{y-3}{2} = \frac{z+2}{1}$.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Luôn kiểm tra hai đường đã thật sự là chéo nhau chưa (không giao nhau, không song song).
• Cẩn thận khi chuyển đổi dạng phương trình đường thẳng (chính tắc, tham số, tổng quát).
• Tích có hướng$\mathbf{u}_1 \times \mathbf{u}_2$phải khác véc-tơ không, nếu không hai đường thẳng song song hoặc đồng phẳng.
• Nhớ chọn đúng điểm thuộc đúng đường, xác định kí hiệu đúng cho$\mathbf{u}_1$,$\mathbf{u}_2$,$\mathbf{AB}$.
• Thao tác tính toán với véc-tơ (tích có hướng, tích vô hướng) đòi hỏi chính xác từng dấu và từng thành phần.