Chiến Lược Toàn Diện Giải Bài Toán Khoảng Tứ Phân Vị của Mẫu Số Liệu Ghép Nhóm (Toán 12)

1. Giới thiệu về bài toán và ý nghĩa

Bài toán về "khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm" thường xuất hiện trong chương thống kê của Toán 12. Khoảng tứ phân vị giúp đánh giá mức độ phân tán của dữ liệu, cho biết phạm vi mà đa số các giá trị có xu hướng tập trung. Đây là kỹ năng thường được kiểm tra trong các kỳ thi THPT và còn hữu ích trong các ứng dụng phân tích dữ liệu thực tế, giúp nhận diện sự biến động của các tập số liệu lớn.

2. Đặc điểm của bài toán Khoảng tứ phân vị với mẫu ghép nhóm

Điểm đặc trưng của dạng bài này là dữ liệu không ghi rõ từng giá trị mà được phân thành các lớp (khoảng) với tần số (số lần xuất hiện) cho từng lớp. Điều này đòi hỏi học sinh phải ước lượng các vị trí phân vị dựa trên bảng tần số tích lũy, thay vì biết chính xác các giá trị.

3. Chiến lược tổng thể giải bài toán

Chiến lược hiệu quả để giải bài toán này gồm các bước lớn:

• Nhận diện đúng yêu cầu (tính$Q_1$,$Q_3$, khoảng tứ phân vị, hoặc sử dụng kết quả để đánh giá mức độ phân tán).
• Vẽ hoặc xác định bảng tần số, tính tần số tích lũy.
• Xác định tổng số phần tử nhóm ($n$), sau đó tìm vị trí các tứ phân vị ($Q_1$,$Q_3$).
• Tìm lớp tứ phân vị (lớp chứa$Q_1$hoặc$Q_3$).
• Áp dụng công thức nội suy để tìm giá trị $Q_1$,$Q_3$.
• Tính khoảng tứ phân vị $I_Q = Q_3 - Q_1$.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Giả sử cho bảng số liệu ghép nhóm như sau:

Khoảng lớp | Tần số
-----------|--------
10 - 20     |   5
20 - 30     |   12
30 - 40     |   23
40 - 50     |   14
50 - 60     |   6

Bước 1: Tính tổng số phần tử và tần số tích lũy

• Tổng số phần tử:$n = 5 + 12 + 23 + 14 + 6 = 60$
• Tính tần số tích lũy cho từng khoảng:

Khoảng lớp | Tần số | Tần số tích lũy
-----------|--------|-----------------
10 - 20     |   5    |     5
20 - 30     |   12   |     17
30 - 40     |   23   |     40
40 - 50     |   14   |     54
50 - 60     |   6    |     60

Bước 2: Xác định vị trí $Q_1$và $Q_3$

• Số thứ tự của$Q_1$:$k_1 = \frac{n}{4} = \frac{60}{4} = 15$
• Số thứ tự của$Q_3$:$k_3 = \frac{3n}{4} = \frac{3 \times 60}{4} = 45$

Bước 3: Xác định lớp chứa$Q_1$và $Q_3$

• $Q_1$thuộc lớp 20 - 30 (tần số tích lũy đến lớp trước là 5, sau là 17, nên 15 nằm ở lớp này).
• $Q_3$thuộc lớp 40 - 50 (tần số tích lũy đến lớp trước là 40, sau là 54, nên 45 nằm ở lớp này).

Bước 4: Áp dụng công thức nội suy để tính$Q_1$và $Q_3$

Công thức tổng quát tính tứ phân vị trong bảng số liệu ghép nhóm là:

$Q_k = L + \dfrac{N_k - F}{f} \times d$

Trong đó:

• $L$: Cận dưới của lớp chứa tứ phân vị
• $N_k$: Vị trí tứ phân vị cần tìm ($k_1$,$k_3$)
• $F$: Tần số tích lũy của lớp ngay trước lớp chứa tứ phân vị
• $f$: Tần số của lớp chứa tứ phân vị
• $d$: Độ rộng của lớp (ở ví dụ này là 10)

Cụ thể:

• $Q_1$:$L = 20$,$N_1 = 15$,$F = 5$,$f = 12$,$d = 10$
• $Q_3$:$L = 40$,$N_3 = 45$,$F = 40$,$f = 14$,$d = 10$

Tính toán:

Q_1 = 20 + \dfrac{15 - 5}{12} \times 10 = 20 + \dfrac{10}{12} \times 10 = 20 + 8.33 \approx 28.33
Q_3 = 40 + \dfrac{45 - 40}{14} \times 10 = 40 + \dfrac{5}{14} \times 10 = 40 + 3.57 \approx 43.57

Vậy:

Khoảng tứ phân vị $I_Q = Q_3 - Q_1 = 43.57 - 28.33 = 15.24$

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Công thức tính vị trí các tứ phân vị:
• -$Q_1$: vị trí thứ $k_1 = \frac{n}{4}$
• -$Q_3$: vị trí thứ $k_3 = \frac{3n}{4}$
• Công thức nội suy:$Q_k = L + \dfrac{N_k - F}{f} \times d$
• Khoảng tứ phân vị:$I_Q = Q_3 - Q_1$

6. Các biến thể bài toán và điều chỉnh chiến lược

• Nhóm dữ liệu không đều (độ rộng lớp khác nhau): Xác định đúng$d$cho từng lớp.
• Bài toán hỏi ngược (biết$I_Q$, tìm tần số/lớp): Lập phương trình, thay giá trị đã biết, giải tìm ẩn.
• Chỉ cho tần số tương đối: Nhân tổng số mẫu để ra tần số thực.

7. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Đề: Cho bảng phân bố tần số về điểm kiểm tra Toán như sau:

Điểm (x)  | Số học sinh
----------|------------
1-3       |    4
3-5       |   11
5-7       |   25
7-9       |   16
9-11      |    4

Tính khoảng tứ phân vị của dãy số liệu trên.

Lời giải chi tiết:

• Tính tổng số học sinh:$n = 4 + 11 + 25 + 16 + 4 = 60$
• Lập bảng tần số tích lũy:

Điểm (x) | Số học sinh | Tần số tích lũy
---------|-------------|----------------
1-3      |     4       |     4
3-5      |    11       |    15
5-7      |    25       |    40
7-9      |    16       |    56
9-11     |     4       |    60

• Vị trí $Q_1$:$k_1 = 15$(thuộc lớp 3-5, cận dưới 3,$F=4$,$f=11$,$d=2$)
• Vị trí $Q_3$:$k_3 = 45$(thuộc lớp 7-9, cận dưới 7,$F=40$,$f=16$,$d=2$)

$<br />Q_1 = 3 + \dfrac{15 - 4}{11} \times 2 = 3 + \dfrac{11}{11} \times 2 = 3 + 2 = 5<br />$
$<br />Q_3 = 7 + \dfrac{45 - 40}{16} \times 2 = 7 + \dfrac{5}{16} \times 2 \approx 7 + 0.625 = 7.625<br />$
Vậy khoảng tứ phân vị của dãy số liệu là:
$<br />I_Q = Q_3 - Q_1 = 7.625 - 5 = 2.625<br />$

8. Bài tập thực hành

1. Cho bảng số liệu sau về chiều cao học sinh (đơn vị: cm):
   
   | Khoảng lớp

   Số học sinh
   140-150

   5 |
   | 150-160 | 10 |
   | 160-170 | 20 |
   | 170-180 | 11 |
   | 180-190 | 4 |
   
   Hãy tính khoảng tứ phân vị của dãy số liệu trên.
2. Một tập dữ liệu được phân lớp như sau:
   
   | Khoảng lớp

   Tần số
   60-70

   10 |
   | 70-80 | 18 |
   | 80-90 | 22 |
   | 90-100 | 8 |
   
   Tính$Q_1$,$Q_3$và khoảng tứ phân vị của tập dữ liệu trên.

9. Mẹo hay và lưu ý tránh sai sót thường gặp

• Luôn kiểm tra tổng tần số để tránh tính sai vị trí $Q_1$,$Q_3$.
• Cẩn thận xác định đúng cận dưới của lớp chứa phân vị và $d$(đôi khi đề bài sẽ thay đổi độ rộng lớp).
• Nếu lớp không liên tiếp (thiếu đơn vị), cần chuẩn hóa lại trước khi áp dụng công thức.
• Hãy làm cẩn thận từng bước; lấy kết quả chính xác đến hai chữ số thập phân nếu đề không yêu cầu cụ thể.
• Ghi rõ công thức trước khi thay số vào bài giải để tránh nhầm lẫn.