Chiến lược giải bài toán kiểm tra chất lượng lớp 12: Phương pháp, công thức và luyện tập

1. Giới thiệu về bài toán kiểm tra chất lượng

Bài toán kiểm tra chất lượng là nhóm bài toán ứng dụng xác suất thống kê để đánh giá chất lượng sản phẩm hoặc một quá trình sản xuất. Loại bài toán này thường xuất hiện trong chương Xác suất có điều kiện của Toán 12 và rất quan trọng với thực tiễn, đặc biệt là ngành công nghiệp, sản xuất. Học sinh nắm chắc cách giải bài toán kiểm tra chất lượng, không chỉ vận dụng tốt trong thi THPT Quốc gia mà còn dễ dàng ứng dụng trong đời sống thực tế.

2. Đặc điểm nhận dạng và phân tích bài toán kiểm tra chất lượng

Bài toán kiểm tra chất lượng thường có các đặc điểm:

• Xuất hiện nhóm sản phẩm trong đó có sản phẩm đạt chuẩn và sản phẩm không đạt chuẩn (hỏng, lỗi,…)
• Lấy mẫu ngẫu nhiên 1 hoặc nhiều sản phẩm để kiểm tra
• Yêu cầu tìm các xác suất kiểu: "lấy ra toàn sản phẩm tốt", "có ít nhất một sản phẩm hỏng", "sản phẩm đầu tiên hỏng",…
• Từ những xác suất này, đánh giá xác suất chọn lô hàng đạt/không đạt chất lượng

Nhận diện được dạng đề này giúp học sinh xác định rõ hướng giải quyết bài toán.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán kiểm tra chất lượng

Chiến lược chung khi giải loại bài toán này gồm các bước:

1. Hiểu và xác định tổng thể bài toán: Xác định tổng số sản phẩm, số sản phẩm hỏng/tốt.
2. Biểu diễn mẫu và tính chất lấy ngẫu nhiên: Lấy mẫu có hoàn lại hay không hoàn lại?
3. Mô hình hóa vấn đề bằng xác suất: Thiết lập các biến cố phù hợp với yêu cầu đề (A: "lấy ra toàn sản phẩm tốt", B: "có ít nhất một sản phẩm hỏng",...).
4. Tính xác suất dựa trên các biến cố đã thiết lập và công thức xác suất cổ điển hoặc xác suất có điều kiện, xác suất đầy đủ khi có nhiều tình huống.
5. Kết luận đáp án phù hợp với câu hỏi của đề, kiểm tra lại các bước.

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Hãy cùng xem chi tiết từng bước giải với ví dụ cụ thể:

Ví dụ minh họa

Một lô hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 2 sản phẩm bị lỗi. Chọn ngẫu nhiên 3 sản phẩm để kiểm tra. Tính xác suất để các sản phẩm được chọn đều đạt chất lượng.

1. Bước 1: Xác định tổng thể và nhóm: Có 10 sản phẩm (gồm 8 tốt, 2 lỗi).
2. Bước 2: Mô tả biến cố cần tìm: Biến cố A = "Chọn được 3 sản phẩm đều tốt."
3. Bước 3: Sử dụng công thức xác suất cổ điển:

Số các cách chọn 3 sản phẩm bất kỳ:$C_{10}^3$Số các cách chọn 3 sản phẩm tốt:$C_8^3$

Xác suất cần tìm:

$P(A) = \frac{C_8^3}{C_{10}^3} = \frac{56}{120} = \frac{7}{15}$

Như vậy, xác suất để chọn ra 3 sản phẩm đều đạt chất lượng là $\frac{7}{15}$.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Công thức xác suất cổ điển:$P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}$, trong đó $n(A)$là số trường hợp thuận lợi,$n(\Omega)$là số trường hợp có thể xảy ra.
• Công thức tổ hợp:$C_n^k = \frac{n!}{k! (n-k)!}$
• Xác suất có điều kiện:$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
• Xác suất đầy đủ: $P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A|H_i) \cdot P(H_i)$với các$H_i$ tạo thành một hệ đầy đủ các biến cố.

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

Các biến thể thường gặp và hướng giải:

• Chọn sản phẩm có hoàn lại: Phải xác định xác suất riêng biệt từng bước và nhân lại với nhau.
• Có ít nhất một sản phẩm hỏng trong mẫu: Sử dụng "phép bù": Tính xác suất để không có sản phẩm nào hỏng (tức là tất cả tốt) rồi lấy 1 trừ đi.
• Chọn nhiều nhóm sản phẩm hoặc mẫu nhiều lần: Dùng xác suất đầy đủ, có thể phải chia tình huống theo các biến cố trung gian.

7. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết theo từng bước

Bài tập: Một lô hàng có 12 sản phẩm, trong đó có 3 sản phẩm lỗi. Lấy ngẫu nhiên 4 sản phẩm để kiểm tra. Tính xác suất lấy được:

1. a) Toàn bộ đều là sản phẩm tốt.
2. b) Có ít nhất một sản phẩm bị lỗi.

Lời giải chi tiết

1. Tổng số sản phẩm: 12 (gồm 9 tốt, 3 lỗi); Tổng số cách chọn 4 sản phẩm:$C_{12}^4$
2. a. Số cách chọn 4 sản phẩm đều tốt:$C_9^4$
   
   Xác suất:$P(A) = \frac{C_9^4}{C_{12}^4} = \frac{126}{495} = \frac{42}{165}$
3. b. Xác suất có ít nhất 1 sản phẩm bị lỗi: Dùng phép bù:$P(B) = 1 - P(A) = 1 - \frac{42}{165} = \frac{123}{165} = \frac{41}{55}$

8. Bài tập thực hành tự luyện

1. Một xưởng có 15 sản phẩm, trong đó có 4 sản phẩm lỗi. Chọn ngẫu nhiên 5 sản phẩm để kiểm tra. Tính xác suất để:
   a) Có đúng 2 sản phẩm lỗi trong nhóm được chọn
   b) Tất cả đều là sản phẩm đạt.
2. Cửa hàng có 20 sản phẩm, biết xác suất để mỗi sản phẩm là tốt là $0{,}95$. Chọn ngẫu nhiên 3 sản phẩm liên tiếp (có hoàn lại), tính xác suất cả 3 sản phẩm đều là tốt.
3. Một lô hàng có 25 sản phẩm, trong đó có 6 sản phẩm lỗi. Chọn ngẫu nhiên 4 sản phẩm để kiểm tra. Tính xác suất có ít nhất một sản phẩm lỗi.

9. Các mẹo và lưu ý quan trọng khi giải bài toán kiểm tra chất lượng

• Đọc kỹ số liệu, xác định chính xác số sản phẩm tốt/lỗi và kiểm tra xem chọn có hoàn lại không.
• Biết vận dụng các công thức tổ hợp, xác suất có điều kiện, xác suất đầy đủ và phép bù theo từng yêu cầu bài.
• Luôn vẽ sơ đồ nếu cần thiết để tránh nhầm lẫn các bước chọn.
• Kiểm tra kết quả lần cuối để tránh sai sót số học, đặc biệt khi rút gọn các phân số.
• Gặp câu hỏi "ít nhất", "nhiều nhất" nên sử dụng phép bù cho giải nhanh, tránh phải liệt kê nhiều trường hợp.
• Có thể gặp các bài nâng cao: bài toán có nhiều lô hàng, nhiều vòng lấy mẫu; nên phân tích và chia nhỏ các biến cố, xét từng trường hợp.

Tóm lại, nắm vững "cách giải bài toán kiểm tra chất lượng" với chiến lược rõ ràng, các công thức xác suất và kỹ năng tổ hợp là chìa khóa để chinh phục mọi dạng đề kiểm tra chất lượng trong chương Toán xác suất lớp 12.