Blog

Chiến lược giải bài toán Nguyên hàm của hàm hợp: Phân tích, ví dụ và bài tập thực hành Lớp 12

T
Tác giả
4 phút đọc
Chia sẻ:
5 phút đọc

1. Giới thiệu về bài toán nguyên hàm của hàm hợp và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 12, bài toán vềnguyên hàm của hàm hợpđóng vai trò trung tâm, là nền tảng cho việc giải các bài toán liên quan đếntích phân, áp dụng thực tế và các đề thi THPT Quốc gia. Thành thạo cách giải bài toán này giúp học sinh xử lý hiệu quả nhiều dạng toán khác nhau trong các kỳ thi quan trọng.

2. Đặc điểm của bài toán nguyên hàm hàm hợp

Dạng bài toán này yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số có dạngf(g(x))g(x)f(g(x)) \cdot g'(x)hoặcf(u)f(u), với u = g(x)

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận cách giải bài toán nguyên hàm của hàm hợp

  • Bước 1: Nhận diện bài toán nguyên hàm của hàm hợp (cấu trúc dạngf(g(x))g(x)f(g(x)) \cdot g'(x)).
  • Bước 2: Xác định rõ hàm ngoàiffvà hàm trongg(x)g(x). Tìmg(x)g'(x).
  • Bước 3: Đặtu=g(x)u=g(x)rồi tính vi phându=g(x)dxdu=g'(x)dx.
  • Bước 4: Đổi toàn bộ nguyên hàm về biếnuu.
  • Bước 5: Tìm nguyên hàm theouu. Sau đó thế lạiu=g(x)u = g(x).

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính2xcos(x2)dx\int 2x \cos(x^2) dx

  • Bước 1: Nhận thấy đây là hàm hợp dạngcos(x2)\cos(x^2)vớig(x)=x2g(x) = x^2,g(x)=2xg'(x)=2xcó đi kèm bên ngoài.
  • Bước 2: Đặtu=x2du=2xdxu = x^2 \Rightarrow du = 2x dx
  • Bước 3: Thay vào:2xcos(x2)dx=cos(u)du\int 2x \cos(x^2) dx = \int \cos(u) du
  • Bước 4: Lấy nguyên hàm: cos(u)du=sin(u)+C\int \cos(u) du = \sin(u) + C
  • Bước 5: Trả lại biến x: sin(x2)+C\sin(x^2) + C

Vậy đáp án là: sin(x2)+C\boxed{\sin(x^2) + C}

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

  • Công thức tổng quát:f(g(x))g(x)dx=f(g(x))+C\int f'(g(x)) \cdot g'(x) dx = f(g(x)) + C
  • Kỹ thuật đặt biến: Nếuu=g(x)u=g(x)thì du=g(x)dxdu = g'(x) dx, từ đó chuyển nguyên hàm sang theo biếnuu.
  • Một số nguyên hàm cơ bản cần nhớ (một vài ví dụ):

<br/><br/>eax+bdx=1aeax+b+C<br/>1xdx=lnx+C<br/>cos(ax+b)dx=1asin(ax+b)+C<br/>sin(ax+b)dx=1acos(ax+b)+C<br/><br/><br />\begin{align*}<br /> & \int e^{ax+b}dx = \frac{1}{a}e^{ax+b} + C \\<br /> & \int \frac{1}{x}dx = \ln|x| + C \\<br /> & \int \cos(ax+b)dx = \frac{1}{a}\sin(ax+b) + C \\<br /> & \int \sin(ax+b)dx = -\frac{1}{a}\cos(ax+b) + C<br />\\\end{align*}<br />

6. Các biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

  • Dạng thiếug(x)g'(x): Có thể phải nhân chia thêm với hằng số để tạo thành đúng cấu trúc hàm hợp.
  • Dạng chiag(x)g'(x): Đặtu=g(x)u = g(x); nếu tử là hàm củag(x)g(x), mẫu là g(x)g'(x)thì chuyển vi phân.
  • Dạng hỗn hợp: Phối hợp nhiều kỹ thuật đổi biến, tách hạng tử, kết hợp nhiều bước.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài 1: Tínhxex2dx\int x e^{x^2} dx

  • Đặtu=x2du=2xdxxdx=12duu = x^2 \Rightarrow du = 2x dx \Rightarrow x dx = \frac{1}{2} du
  • Nguyên hàm:xex2dx=eu12du=12eudu\int x e^{x^2} dx = \int e^u \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int e^u du
  • Tìm nguyên hàm:=12eu+C= \frac{1}{2} e^u + C
  • Trả về xx:12ex2+C\frac{1}{2}e^{x^2} + C

Bài 2: Tínhcos(3x+2)dx\int \cos(3x + 2) dx

  • Đặtu=3x+2u = 3x + 2,du=3dxdu = 3 dx \Rightarrow dx = \frac{1}{3} du" data-math-type="inline"> undefined
T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".