Blog

Chiến lược giải bài toán nguyên hàm từng phần cho học sinh lớp 12

T
Tác giả
6 phút đọc
Chia sẻ:
6 phút đọc

1. Giới thiệu về bài toán nguyên hàm từng phần và tầm quan trọng

Bài toán nguyên hàm từng phần là một trong những dạng bài quan trọng trong chương trình toán lớp 12, đặc biệt thuộc chủ đề giải tích và chuyên đề nguyên hàm, tích phân. Đây là phương pháp dùng để tính nguyên hàm của tích hai hàm số khi không thể tìm nguyên hàm một cách trực tiếp. Nắm vững nguyên hàm từng phần không chỉ giúp bạn giải quyết nhiều bài tập trong chương IV mà còn rất hữu ích cho các kì thi THPT Quốc gia cũng như ôn thi Đại học.

2. Đặc điểm và biểu hiện bài toán cần sử dụng nguyên hàm từng phần

Nhận diện bài toán nguyên hàm từng phần thường dựa trên việc phải tính nguyên hàm của tích hai hàm số, ví dụ như:

  • Tích hàm đa thức và hàm số mũ:xnexx^n e^x;xnsinxx^n \sin x;xncosxx^n \cos x
  • Tích hàm logarith, hàm lượng giác, đa thức:xextlnxx ext{ln}x,xsinxx \sin x,...

Biểu thức thường có dạngudv\int u\,dv, tức là tích của hai hàm. Việc tách "u" và "dv" hợp lí sẽ quyết định việc giải bài toán có dễ dàng hay không.

3. Chiến lược tổng thể khi giải bài toán nguyên hàm từng phần

Để giải bài toán này, học sinh nên thực hiện theo các bước chiến lược sau:

  1. Nhận diện bài toán thuộc dạng cần dùng nguyên hàm từng phần.
  2. Chọn hàm u và hàm dv sao cho việc lấy đạo hàm và lấy nguyên hàm thuận lợi nhất.
  3. Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần.
  4. Tính tiếp các nguyên hàm còn lại. Nếu phải lặp lại bước nguyên hàm từng phần, hãy chú ý đến sự xuất hiện trở lại của biểu thức gốc để giải phương trình (nếu có).

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Công thức nguyên hàm từng phần

Với hai hàm u(x), v(x) có đạo hàm liên tục trên khoảng xác định, công thức nguyên hàm từng phần là:

Ví dụ minh họa 1: Tínhxexdx\int x e^x dx

Bước 1: Chọnu=xu = x,dv=exdxdv = e^x dx.

du=dxdu = dx,v=exdx=exv = \int e^x dx = e^x

Áp dụng công thức:

Vậy:

Ví dụ minh họa 2: Tính xsinxdx\int x \sin x dx

Chọn u=xu = x, dv=sinxdxdv = \sin x dxdu=dxdu = dx, v=cosxv = -\cos x.

Áp dụng công thức:

Vậy:

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

  • Công thức nguyên hàm từng phần:udv=uvvdu\int u\,dv = u v - \int v\,du
  • Quy tắc chọnuu: Ưu tiên các hàm\rightarrow đa thức\rightarrowloga\rightarrowlượng giác\rightarrow
  • Ghi nhớ nguyên hàm của các hàm cơ bản như exe^x, sinx\sin x, cosx\cos x, xnx^n, lnx\ln x,...

6. Các biến thể của bài toán và chiến lược điều chỉnh

Một số bài toán sau khi áp dụng từng phần nhiều lần thì biểu thức ban đầu lặp lại, lúc đó cần đưa về phương trình giải nguyên hàm. Ví dụ với exsinxdx\int e^x \sin x dx:

Các bước tiếp tục lại cho nguyên hàm còn lại, rồi nhóm các thành phần cùng loại để giải phương trình:

Ta sẽ nhóm exsinxdx\int e^x \sin x dx về một vế rồi giải tìm nguyên hàm.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết theo từng bước

Bài tập mẫu: Tínhx2exdx\int x^2 e^x dx

Bước 1: Chọnu=x2u = x^2,dv=exdxdv = e^x dxdu=2xdxdu = 2x dx,v=exv = e^x.

Áp dụng công thức:

Giải tiếp2xexdx\int 2x e^x dxtheo nguyên hàm từng phần:

Chọnu2=2xu_2 = 2x,dv2=exdxdv_2 = e^x dxdu2=2dxdu_2 = 2dx,v2=exv_2 = e^x.

Tổng hợp lại:

Vậy:

8. Bài tập thực hành

Hãy áp dụng "cách giải bài toán nguyên hàm từng phần" để giải các bài tập sau:

  1. Tínhxcosxdx\int x \cos x dx
  2. Tínhxlnxdx\int x \ln x dx
  3. Tínhexcosxdx\int e^x \cos x dx
  4. Tínhx3dx\int x^3 dx

9. Mẹo, lưu ý để tránh những sai lầm phổ biến

  • Chọnuu,dvdvkhéo léo; thường chọnuulà hàm dễ vi phân,dvdvlà hàm dễ lấy nguyên hàm.
  • Nếu sau nhiều lần tách vẫn không đơn giản hóa được, hãy xem lại cách chọnuudvdv.
  • Cẩn thận khi có dấu âm, dấu ngoặc ghép nhiều nguyên hàm.
  • Luôn xem xét khả năng quay về phương trình dạng ban đầu khi nguyên hàm lặp lại sau 2 lần tách.
  • Luyện tập nhiều dạng bài để nhận diện và chọn cách tách hợp lý.

Hy vọng qua bài viết này, bạn đã nắm được "cách giải bài toán nguyên hàm từng phần" và có đủ lý thuyết, kỹ năng để giải quyết mọi dạng bài tập liên quan! Hãy luyện tập thật nhiều để thành thạo hơn nhé.

T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".