Chiến lược giải bài toán Nguyên hàm từng phần - Lớp 12

1. Giới thiệu về bài toán Nguyên hàm từng phần và tầm quan trọng

Nguyên hàm từng phần là một trong những kỹ thuật cơ bản và quan trọng trong giải tích lớp 12, giúp giải quyết các dạng nguyên hàm mà không dễ dàng tích phân trực tiếp. Phương pháp này đặc biệt hữu dụng đối với nguyên hàm của tích các hàm số như đa thức nhân với lượng giác, hàm logarit, hàm mũ,... Việc thành thạo nguyên hàm từng phần không chỉ giúp học sinh giải nhanh các bài toán trên lớp mà còn chinh phục tốt hơn các bài tập trong kỳ thi THPT Quốc gia và học đại học sau này.

2. Phân tích đặc điểm của bài toán nguyên hàm từng phần

- Dạng bài: Có dạng tổng quát là $\int u(x) v'(x) dx$với$u(x)$,$v'(x)$là hai hàm số xác định trên cùng một miền.
- Loại hàm thường gặp: kết hợp một hàm đa thức với hàm mũ, logarit, lượng giác hoặc các hàm phức tạp hơn.
- Đặc điểm nhận diện: thường khó nguyên hàm trực tiếp hoặc nguyên hàm một thành phần cho ra kết quả đơn giản hơn.

Ví dụ các dạng thường gặp:
- $\int x \sin x dx$-$\int x e^x dx$-$\int \ln x dx$(biến thể đặc biệt)
-$\int x^n \cos x dx$ (n là số nguyên dương)

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Bước 1: Xác định đây là bài nguyên hàm từng phần (khó tích phân trực tiếp, xuất hiện tích 2 hàm)
Bước 2: Phân tích để chọn "u" và "dv" hợp lý theo nguyên tắc LIATE:
- L: Logarithm ($\ln x$, $\log_a x$)
- I: Inverse (Hàm ngược như

, ...)
- A: Algebraic (Đa thức như $x$, $x^2$...)
- T: Trigonometric (Hàm lượng giác như $\sin x$, $\cos x$...)
- E: Exponential (Hàm mũ như $e^x$, $2^x$...)
Chọn u là hàm xuất hiện ở vị trí cao hơn trong LIATE, dv là hàm còn lại.
Bước 3: Áp dụng công thức từng phần và giải tiếp cho đến khi nguyên hàm trở nên đơn giản hoặc xuất hiện lại nguyên hàm ban đầu (giải phương trình nguyên hàm).

4. Các bước giải chi tiết và ví dụ minh họa

Công thức nguyên hàm từng phần:
$<br />\int u dv = uv - \int v du<br />$
Các bước thực hiện:
1. Xác định "u" và "dv" (theo chiến lược trên)
2. Tính đạo hàm$du = u'(x)dx$, tích phân$v = \int dv$
3. Thay vào công thức trên
4. Giải tiếp nếu còn nguyên hàm phức tạp

Ví dụ 1: Tính$\int x e^x dx$
- Chọn$u = x \Rightarrow du = dx$
-$dv = e^x dx \Rightarrow v = e^x$

Áp dụng công thức:
$<br />\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C = (x - 1)e^x + C<br />$

Ví dụ 2: Tính $\int x \cos x dx$- Chọn$u = x \Rightarrow du = dx$-$dv = \cos x dx \Rightarrow v = \sin x$
$\int$x$\cos$x dx = x$\sin$x -$\int\sin$x dx = x$\sin$x +$\cos$ x + C

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

- Công thức tổng quát: $\int u dv = uv - \int v du$
- Quy tắc LIATE để chọn "u" và "dv"
- Nếu nguyên hàm lặp lại, đưa về phương trình và giải: ví dụ $\int e^x \sin x dx$

Ví dụ kỹ thuật đặc biệt:
Tính $\int e^{ax} \sin (bx) dx$

Sau hai lần áp dụng từng phần, nguyên hàm ban đầu sẽ lặp lại, ta đưa về phương trình giải tìm giá trị nguyên hàm. Xem ví dụ cụ thể ở mục sau.

6. Các biến thể và cách điều chỉnh chiến lược

Có thể gặp các trường hợp đặc biệt như:
- $\int \ln x dx$: Đặt $u = \ln x$, $dv = dx$
- $\int x^n e^x dx$(dùng nhiều lần từng phần)
-$\int (ax + b)^n \sin(cx + d) dx$(đặt$u$là đa thức)
- Hai hàm lượng giác hoặc mũ kết hợp: lặp lại nguyên hàm ban đầu.
Điều chỉnh: Chọn "u" để sau khi lấy đạo hàm đơn giản đi, còn "dv" tích phân không phức tạp.
Nếu nguyên hàm ban đầu xuất hiện lại: đặt$I =$ nguyên hàm đó và giải phương trình.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài mẫu 1: Tính$\int x^2 e^x dx$
- Đặt$u = x^2 \Rightarrow du = 2x dx$
-$dv = e^x dx \Rightarrow v = e^x$
$<br />\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - \int 2x e^x dx<br />$
Với$\int 2x e^x dx$, lại áp dụng nguyên hàm từng phần:
- Đặt$u = 2x$,$dv = e^x dx \Rightarrow du = 2 dx$,$v = e^x$
$<br />\int 2x e^x dx = 2x e^x - \int 2 e^x dx = 2x e^x - 2 e^x<br />$
Vậy:
$<br />\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - (2x e^x - 2 e^x) = x^2 e^x - 2x e^x + 2 e^x + C<br />$

Bài mẫu 2: Tính $\int e^x \sin x dx$
Đặt $I = \int e^x \sin x dx$
- Đặt $u = \sin x$, $dv = e^x dx$, $du = \cos x dx$, $v = e^x$
$<br />I = \sin x e^x - \int e^x \cos x dx<br />$
Gọi $J = \int e^x \cos x dx$
- Lại dùng từng phần với $u = \cos x$, $dv = e^x dx$, $du = -\sin x dx$, $v = e^x$
$<br />J = \cos x e^x - \int e^x (-\sin x) dx = \cos x e^x + \int e^x \sin x dx = \cos x e^x + I<br />$
Thế vào I:
$<br />I = \sin x e^x - J = \sin x e^x - (\cos x e^x + I) \Rightarrow I = \sin x e^x - \cos x e^x - I<br /> \Rightarrow 2I = (\sin x - \cos x)e^x \Rightarrow I = \frac{1}{2}(\sin x - \cos x)e^x + C<br />$

8. Bài tập thực hành

Hãy tự luyện tập các bài sau (giải chi tiết như hướng dẫn trên):
1. $\int x \ln x dx$2.$\int x^2 \sin x dx$3.$\int x e^{2x} dx$4.

5.$\int x^3 e^x dx$6.$\int \ln x dx$7.$\int e^{2x} \cos 3x dx$

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

• Luôn xác định rõ "u" và "dv" theo quy tắc LIATE, tránh chọn ngược khiến bài phức tạp hơn.
• Chú ý lấy đạo hàm và tích phân chính xác.
• Khi nguyên hàm xuất hiện lặp lại, đưa về phương trình giải tìm nguyên hàm.
• Kiểm tra lại kết quả bằng cách lấy đạo hàm.
• Có thể cần lặp lại nhiều lần phương pháp từng phần với đa thức bậc cao.
• Nhớ +C khi kết luận nguyên hàm.