Chiến lược giải bài toán nhận biết hệ tọa độ trong không gian (Lớp 12) – Hướng dẫn chi tiết và ví dụ minh họa

1. Giới thiệu về bài toán nhận biết hệ tọa độ trong không gian

Trong chương trình Toán lớp 12, "nhận biết hệ tọa độ trong không gian" là một thành tố quan trọng của Hình học không gian. Hệ tọa độ Oxyz cung cấp ngôn ngữ và công cụ để xác định và diễn đạt vị trí các điểm, vectơ, mặt phẳng, đường thẳng trong không gian ba chiều. Việc thành thạo nhận biết, sử dụng hệ tọa độ không chỉ giúp giải quyết hiệu quả các bài toán hình học mà còn là nền tảng cho các kiến thức cao hơn ở đại học và ứng dụng thực tiễn (kỹ thuật, vật lý, tin học,...).

2. Đặc điểm của bài toán nhận biết hệ tọa độ trong không gian

• Đối tượng khảo sát thường là các điểm, vectơ, mặt phẳng, đường thẳng trong hệ tọa độ $Oxyz$.
• Đề bài đưa ra vị trí các điểm, vectơ dưới dạng tọa độ hoặc yêu cầu xác định hệ tọa độ từ quan hệ hình học.
• Yêu cầu học sinh diễn đạt, biểu diễn, hoặc chứng minh các tính chất hình học dựa trên dữ liệu tọa độ.

3. Chiến lược tổng thể khi giải bài toán nhận biết hệ tọa độ không gian

Để giải tốt dạng bài này, bạn nên tuân thủ các bước sau:

1. Hiểu hệ trục tọa độ $Oxyz$và ý nghĩa của từng trục.
2. Nắm cách xác định tọa độ điểm, vectơ từ điều kiện đề bài.
3. Vẽ hình minh họa khi cần nhằm trực quan hóa các vị trí trong không gian.
4. Áp dụng các công thức tính toán liên quan (khoảng cách, tích vô hướng, tích có hướng, phương trình đường thẳng, mặt phẳng,...).
5. Kiểm tra tính hợp lý của kết quả dựa vào hình học không gian.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Sau đây là các bước cụ thể kèm ví dụ thực tế:

• Bước 1: Xác định toạ độ các điểm, vectơ dựa vào dữ kiện hình học.
• Bước 2: Viết phương trình đường thẳng, mặt phẳng hoặc tính các đại lượng hình học theo yêu cầu.
• Bước 3: Sử dụng các công thức vectơ trong hệ $Oxyz$.
• Bước 4: Đối chiếu kết quả với sơ đồ hình vẽ hoặc nhận xét thực tế.

Ví dụ minh hoạ:

Cho hình lập phương$ABCD.A'B'C'D'$cạnh$a$với$A$trùng gốc tọa độ $O(0;0;0)$, cạnh$AB$nằm trên trục$Ox$, cạnh$AD$nằm trên$Oy$, cạnh$AA'$nằm trên$Oz$. Hãy xác định tọa độ các điểm$A$,$B$,$C$,$D$,$A'$,$B'$,$C'$,$D'$.

Giải

1. Vì $A(0;0;0)$;$AB = a$nên$B(a;0;0)$.
2. Tương tự,$AD = a$nên$D(0;a;0)$.
3. $AA' = a$theo trục$z$nên$A'(0;0;a)$.
4. Các điểm còn lại xác định bằng cách cộng từng tọa độ ứng với các trục:

• $B'(a;0;a)$;C(a;a;0);C'(a;a;a);$D'(0;a;a)$

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Tọa độ điểm$M(x_0;y_0;z_0)$.
• Tọa độ vectơ $\vec{AB} = (x_B-x_A;\y_B-y_A;\z_B-z_A)$.
• Tích vô hướng:$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.
• Độ dài vectơ: $|{AB}| = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2}$.
• Phương trình mặt phẳng:$Ax + By + Cz + D = 0$.
• Phương trình đường thẳng:$\dfrac{x-x_0}{a} = \dfrac{y-y_0}{b} = \dfrac{z-z_0}{c}$(qua điểm$M_0(x_0;y_0;z_0)$, có vectơ chỉ phương$(a; b; c)$).

6. Các biến thể bài toán và điều chỉnh chiến lược

• Xác định tọa độ các đỉnh của hình lập phương, tứ diện, lăng trụ,... dựa vào mô tả hình học.
• Chuyển từ biểu diễn tọa độ sang mô tả hình học và ngược lại.
• Khi đề bài cho các thông tin tổng quát hơn (góc, khoảng cách đến trục...) hãy vận dụng các công thức và định nghĩa tọa độ thích hợp để gán giá trị tọa độ cho các điểm.
• Nếu hệ tọa độ không vuông góc gốc O, hãy chú ý phân tích dựa trên các dữ kiện đề bài và vẽ hình cẩn thận.

7. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập mẫu 1:

Cho hình chóp$S.ABC$có $A(0;0;0)$,$B(2;0;0)$,$C(0;3;0)$,$S(0;0;4)$. Tìm tọa độ trọng tâm$G$của tam giác$ABC$và chiều cao$SO$hạ từ $S$xuống mặt phẳng$(ABC)$.

Lời giải:

1. Tọa độ trọng tâm$G$là $G\left(\dfrac{0+2+0}{3};\dfrac{0+0+3}{3};\dfrac{0+0+0}{3}\right) = (\dfrac{2}{3};1;0).$
2. Viết phương trình mặt phẳng$(ABC)$.$A(0;0;0)$,$B(2;0;0)$,$C(0;3;0)$nên mặt phẳng đi qua$Oz$(vì z=0), nên$z=0$chính là phương trình mặt phẳng$(ABC)$.
3. Chiều cao$SO$là khoảng cách từ $S(0;0;4)$ đến mặt phẳng$(ABC): d = |z_S - 0| = |4| = 4$.

8. Bài tập thực hành

1. Cho lăng trụ $ABC.A'B'C'$với$A(0;0;0)$,$B(2;0;0)$,$C(0;3;0)$,$A'(0;0;5)$. Viết tọa độ các điểm còn lại và lập phương trình mặt phẳng$(A'B'C').$
2. Cho hình lập phương cạnh$a$có $A(0;0;0)$,$B(a;0;0)$,$D(0;a;0)$. Hãy xác định tất cả các đỉnh còn lại bằng toạ độ.
3. Xác định tọa độ điểm$M$thuộc trục$Ox$sao cho$OM=4$và điểm$N$trên$Oy$sao cho$ON=5$.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm

• Vẽ hình minh họa cẩn thận để tránh gán nhầm tọa độ.
• Luôn kiểm tra lại xem tọa độ các điểm tuân thủ điều kiện hình học đề cho.
• Khi viết phương trình mặt phẳng, cần xác định đúng vectơ pháp tuyến.
• Đọc kỹ đề, tránh nhầm hệ tọa độ chuẩn với các hướng cạnh trong đề bài.
• Thường xuyên luyện tập chuyển đổi giữa toạ độ và mô tả hình học.

Hy vọng với "cách giải bài toán nhận biết hệ tọa độ trong không gian" được trình bày trên, các bạn sẽ tự tin giải quyết mọi bài tập liên quan trong chương trình Toán lớp 12.