Chiến lược giải bài toán "Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm" (Toán 12)

1. Giới thiệu về bài toán phương sai và độ lệch chuẩn mẫu số liệu ghép nhóm

Trong chương trình Toán 12, chương Thống kê - Xác suất, các bài toán về phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm giúp học sinh nhận biết và đo lường mức độ phân tán của dữ liệu. Đây là nội dung thiết yếu phục vụ cho phân tích số liệu, dự đoán và đánh giá sự ổn định của một tập hợp số liệu, đồng thời xuất hiện nhiều trong đề thi THPT Quốc gia, kiểm tra học kỳ.

2. Đặc điểm của loại bài toán phương sai và độ lệch chuẩn số liệu ghép nhóm

- Mẫu số liệu ghép nhóm thường được trình bày dưới dạng bảng phân bố tần số với các khoảng lớp, giá trị đại diện (mỗi khoảng có tần số và có trung điểm đại diện).

- Đề bài yêu cầu tính trung bình cộng, phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu, dựa trên bảng tần số theo từng khoảng lớp.

- Thường liên quan đến phép biến đổi số liệu, công thức ghép nhóm và thao tác tổng hợp dữ liệu từ bảng.

3. Chiến lược tổng thể cách giải bài toán phương sai và độ lệch chuẩn mẫu số liệu ghép nhóm

• Bước 1: Nhận dạng dạng dữ liệu: mẫu số liệu đã ghép nhóm thành các khoảng, mỗi khoảng có tần số.
• Bước 2: Tìm trung điểm của mỗi khoảng lớp, ký hiệu là $x_i$.
• Bước 3: Lập bảng phụ, tính$x_i$,$x_i^2$,$n_i$là tần số cho từng khoảng, và tích$n_ix_i$,$n_ix_i^2$.
• Bước 4: Tính trung bình cộng: $\overline{x} = \frac{\sum n_ix_i}{N}$, với $N = \sum n_i$
• Bước 5: Tính phương sai: $s^2 = \frac{\sum n_ix_i^2}{N} - (\overline{x})^2$
• Bước 6: Tính độ lệch chuẩn: $s = \sqrt{s^2}$

4. Các bước giải chi tiết minh họa - Ví dụ thực tế

Ví dụ: Cho bảng số liệu về chiều cao (đơn vị cm) của học sinh lớp 12A:

| Khoảng chiều cao (cm) | Số HS |
|:---------------------:|-------|
| [150; 155) | 4 |
| [155; 160) | 8 |
| [160; 165) | 15 |
| [165; 170) | 7 |
| [170; 175) | 6 |

Hãy tính trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của chiều cao các học sinh.

Bước 1: Xác định trung điểm$x_i$cho từng khoảng

Các trung điểm lần lượt: [150, 155) trung điểm$=152.5$, [155, 160)$=157.5$, [160, 165)$=162.5$, [165, 170)$=167.5$, [170, 175)$=172.5$

Bước 2: Lập bảng phụ

| Khoảng |$n_i$|$x_i$|$n_ix_i$|$n_ix_i^2$|
|--------|-------|-------|----------|------------|
|[150,155)| 4 |152.5 | 610 | 93062.5 |
|[155,160)| 8 |157.5 | 1260 | 198450 |
|[160,165)| 15 |162.5 | 2437.5 | 396187.5 |
|[165,170)| 7 |167.5 | 1172.5 | 196437.5 |
|[170,175)| 6 |172.5 | 1035 | 178312.5 |

Tổng$N = 4 + 8 + 15 + 7 + 6 = 40$

Tổng $\sum n_ix_i = 610 + 1260 + 2437.5 + 1172.5 + 1035 = 6515$

Tổng $\sum n_ix_i^2 = 93062.5 + 198450 + 396187.5 + 196437.5 + 178312.5 = 1 062 450$

Bước 3: Tính trung bình cộng

$\overline{x} = \frac{\sum n_ix_i}{N} = \frac{6515}{40} = 162.875$

Bước 4: Tính phương sai

$s^2 = \frac{\sum n_ix_i^2}{N} - (\overline{x})^2 = \frac{1\ 062\ 450}{40} - (162.875)^2 = 26\ 561.25 - 26\ 530.27 = 30.98$

Bước 5: Tính độ lệch chuẩn

$s = \sqrt{30.98} \approx 5.57$

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Công thức trung bình cộng số liệu ghép nhóm: $\overline{x} = \frac{\sum n_ix_i}{N}$
• Công thức phương sai mẫu ghép nhóm: $s^2 = \frac{\sum n_ix_i^2}{N} - (\overline{x})^2$
• Công thức độ lệch chuẩn: $s = \sqrt{s^2}$
• Tính trung điểm mỗi khoảng:$x_i = \frac{a_i + b_i}{2}$với khoảng$[a_i; b_i)$

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

• Nếu khoảng không đều: Vẫn tìm trung điểm$x_i$rồi làm theo quy trình.
• Số liệu thể hiện qua tần suất, quy đổi tần suất thành tần số thực rồi thực hiện các bước.
• Nếu đề yêu cầu thêm bảng tần suất: Có thể bổ sung cột tần suất vào bảng phụ.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Đề bài: Một xưởng sản xuất khảo sát trọng lượng (tính theo gam) các sản phẩm như sau:

| Khoảng trọng lượng | Số sản phẩm |
|---------------------|-------------|
| [50; 54) | 7 |
| [54; 58) | 12 |
| [58; 62) | 21 |
| [62; 66) | 8 |

Hãy tính trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn cho trọng lượng sản phẩm.

• Trung điểm các khoảng:$52, 56, 60, 64$.
• Bảng phụ:
• | Khoảng |$n_i$|$x_i$|$n_ix_i$|$n_ix_i^2$|
  |--------|------|-------|----------|------------|
  |[50,54) | 7 | 52 | 364 | 18 928 |
  |[54,58) | 12 | 56 | 672 | 37 632 |
  |[58,62) | 21 | 60 | 1 260 | 75 600 |
  |[62,66) | 8 | 64 | 512 | 32 768 |
• Tổng $N = 48$, $\sum n_ix_i = 2 808$, $\sum n_ix_i^2 = 164 928$
• $\overline{x} = \frac{2 808}{48} = 58.5$
• $s^2 = \frac{164 928}{48} - (58.5)^2 = 3 436.0 - 3 422.25 = 13.75$
• $s = \sqrt{13.75} \approx 3.71$

8. Bài tập thực hành

Bài 1: Dưới đây là bảng số liệu điểm kiểm tra của học sinh lớp 12B:

| Khoảng điểm | Số HS |
|[2;4) | 5 |
|[4;6) | 12 |
|[6;8) | 18 |
|[8;10] | 8 |

Hãy tính trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của điểm số.

Bài 2: Cho bảng số liệu về thời gian hoàn thành một công việc (phút):

| Khoảng thời gian | Số người |
|[30;35) | 10 |
|[35;40) | 15 |
|[40;45) | 9 |
|[45;50) | 6 |

Hãy tính trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn thời gian làm việc.

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

• Luôn dùng trung điểm đại diện cho mỗi khoảng, không lấy số đầu hoặc cuối khoảng.
• Chú ý cộng chính xác tổng tần số, tổng$n_ix_i$và $n_ix_i^2$.
• Nhớ kiểm tra kỹ đề: có sử dụng tần suất hay không.
• Đọc kỹ khoảng loại [a; b) hay [a; b] để lấy trung điểm đúng.
• Khi tính phương sai, không bị nhầm lẫn công thức mẫu tổng thể hay mẫu ghép nhóm.