Chiến lược giải bài toán phương trình đường thẳng qua hai điểm – Hướng dẫn chi tiết cho lớp 12

1. Giới thiệu về bài toán phương trình đường thẳng qua hai điểm

Bài toán tìm phương trình đường thẳng qua hai điểm là dạng bài cực kỳ cơ bản và quan trọng trong chương hình học không gian lớp 12. Xác định phương trình đường thẳng từ hai điểm không chỉ giúp bạn giải các bài toán về vị trí tương đối, song song, cắt nhau, mà còn là bước nền tảng cho nhiều bài toán tiếp theo như tìm giao tuyến, mặt phẳng chứa đường thẳng,...

2. Phân tích đặc điểm của bài toán phương trình đường thẳng qua hai điểm

Loại bài toán này thường cho trước tọa độ hai điểm$A(x_A, y_A, z_A)$và $B(x_B, y_B, z_B)$trong không gian Oxyz. Đề có thể yêu cầu:

• Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc hoặc phương trình dạng tổng quát của đường thẳng đi qua A và B.
• Chứng minh hai điểm thẳng hàng, kiểm tra vị trí tương đối của một điểm so với đường thẳng...

Đặc trưng nổi bật: Điểm A và B đều thuộc đường thẳng, vector$\overrightarrow{AB}$ định hướng cho đường thẳng.

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận bài toán

1. Xác định tọa độ hai điểm$A, B$cho trước.
2. Tính vector chỉ phương$\overrightarrow{AB}$.
3. Viết phương trình tham số hoặc chính tắc dựa trên tọa độ $A$và $\overrightarrow{AB}$.

4. Các bước giải chi tiết & ví dụ minh họa

Giả sử cho$A(1;2;3)$và $B(4;0;5)$. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và B.

Bước 1: Xác định vector chỉ phương$\overrightarrow{AB}$.Ta có:$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (4-1; 0-2; 5-3) = (3; -2; 2)$

Bước 2: Viết phương trình tham số đường thẳng$d$:

Bước 3: Viết phương trình chính tắc nếu cần:$\frac{x-1}{3} = \frac{y-2}{-2} = \frac{z-3}{2}$

5. Các công thức, kỹ thuật cần nhớ

• Vector chỉ phương:$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)$
• Phương trình tham số:
  
  $$\begin{cases} x = x_A + (x_B - x_A)t \\ y = y_A + (y_B - y_A)t \\ z = z_A + (z_B - z_A)t \\\end{cases}$$
  với$t \in \mathbb{R}$.
• Phương trình chính tắc:$\frac{x-x_A}{x_B-x_A} = \frac{y-y_A}{y_B-y_A} = \frac{z-z_A}{z_B-z_A}$với điều kiện các mẫu số đều khác 0.

6. Các biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

$\overrightarrow{AB} = (3, -2, 2)$ trong hệ toạ độ 3D" title="Hình minh họa: Minh họa tọa độ điểm A(1, 2, 3), B(4, 0, 5) và vector chỉ phương $\overrightarrow{AB} = (3, -2, 2)$ trong hệ toạ độ 3D" class="max-w-full h-auto mx-auto rounded-lg shadow-sm" />

• Hai điểm$A$và $B$trùng nhau: Không xác định được đường thẳng (không thực hiện được bài toán).
• Một điểm và vector chỉ phương: Dùng đúng điểm và vector chỉ phương để viết phương trình.
• Đề cho hai điểm với các ẩn tham số: Xử lý đồng biến đổi để tìm tọa độ cụ thể rồi tiến hành như bình thường.
• Tìm điểm nằm trên đường thẳng: Thay ngược lại phương trình đường thẳng, giải ẩn tham số.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài toán: Cho$M(2; -1; 4)$và $N(5; 3; -2)$. Viết các phương trình (tham số, chính tắc) của đường thẳng đi qua hai điểm này.

Lời giải:

1. Tính$\overrightarrow{MN} = (5-2; 3-(-1); -2-4) = (3; 4; -6)$.
2. Phương trình tham số:
   
   $$\begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = -1 + 4t \\ z = 4 - 6t \\\end{cases}$$
3. Phương trình chính tắc:
   $\frac{x-2}{3} = \frac{y+1}{4} = \frac{z-4}{-6}$

8. Bài tập thực hành tự luyện

Hãy viết phương trình đường thẳng đi qua các cặp điểm sau:

1. $A(3; 1; -2)$,$B(0; -2; 4)$
2. $C(-1; 5; 2)$,$D(2; -1; 2)$
3. $E(0; 0; 0)$,$F(2; 2; 2)$

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Đừng quên điều kiện: Điểm A khác B; vector chỉ phương phải khác vector không.
• Tính vector chỉ phương chính xác, ghi nhớ thứ tự phép trừ.
• Chỉ dùng phương trình chính tắc khi tất cả các mẫu số khác 0.
• Chọn điểm gốc xuất phát nào cũng được (A hoặc B), kết quả là như nhau.
• Luôn kiểm tra lại bằng cách thay tọa độ hai điểm vào phương trình tìm được.
• Luyện tập nhiều dạng bài để thuần thục thao tác.