Chiến lược giải bài toán Phương trình mặt cầu qua bốn điểm – Hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu: Đặt vấn đề và tầm quan trọng của bài toán Phương trình mặt cầu qua bốn điểm

Trong chương trình Toán lớp 12, đặc biệt ở phần Hình học không gian, "Phương trình mặt cầu qua bốn điểm" là dạng bài toán quan trọng, thường gặp trong các đề kiểm tra và đề thi THPT Quốc gia. Nắm vững cách giải bài toán này không chỉ giúp học sinh củng cố kiến thức về hình học không gian, mà còn rèn luyện kỹ năng tư duy lập luận và kỹ năng giải toán tổng hợp. Dạng bài này thường xuất hiện trong các bài toán tính toán hình học, tìm phương trình mặt cầu chứa các điểm đặc biệt hoặc các bài tập ứng dụng trong đời sống thực tiễn.

2. Phân tích đặc điểm: Đặc trưng của bài toán phương trình mặt cầu qua bốn điểm

Với bài toán "phương trình mặt cầu qua bốn điểm", đề bài sẽ cho tọa độ bốn điểm không đồng phẳng trong không gian Oxyz:$A(x_1, y_1, z_1), B(x_2, y_2, z_2), C(x_3, y_3, z_3), D(x_4, y_4, z_4)$. Yêu cầu tìm phương trình mặt cầu đi qua cả bốn điểm này.

Tính đặc trưng của dạng bài:
- 4 điểm phân biệt, không đồng phẳng => Chắc chắn xác định duy nhất một mặt cầu.
- Yêu cầu xác định tâm$(a, b, c)$và bán kính$R$của mặt cầu, thoả mãn cả bốn điểm đều nằm trên mặt cầu.
- Phương trình mặt cầu tổng quát:$(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2.$

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Để giải quyết bài toán này, ta thực hiện các bước chủ yếu sau:

- Giả sử phương trình mặt cầu tổng quát với tâm$(a, b, c)$và bán kính$R$(hoặc dùng dạng mở rộng).
- Thay từng điểm đã cho vào phương trình mặt cầu, thu được 4 phương trình với 4 ẩn số ($a, b, c, R^2$).
- Giải hệ phương trình để tìm giá trị $a, b, c$, cuối cùng xác định$R^2$.
- Viết phương trình mặt cầu đầy đủ đáp án.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Chúng ta sẽ minh họa quá trình giải bằng một ví dụ cụ thể dưới đây. Ví dụ: Tìm phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm$A(1,2,1)$,$B(2,-1,3)$,$C(0,0,2)$,$D(1,3,0)$.

Bước 1: Giả sử phương trình mặt cầu cần tìm

Gọi phương trình mặt cầu có dạng:$(x - a)$^2 +$(y - b)$^2 +$(z - c)$^2 = R^2.

Bước 2: Thay tọa độ bốn điểm vào phương trình mặt cầu

Thay từng điểm$A, B, C, D$vào phương trình, ta có hệ:

- Với$A(1,2,1)$:
(1-a)^2 + (2-b)^2 + (1-c)^2 = R^2 \tag{1}

- Với$B(2,-1,3)$:
(2-a)^2 + (-1-b)^2 + (3-c)^2 = R^2 \tag{2}

- Với$C(0,0,2)$:
(0-a)^2 + (0-b)^2 + (2-c)^2 = R^2 \tag{3}

- Với$D(1,3,0)$:
(1-a)^2 + (3-b)^2 + (0-c)^2 = R^2 \tag{4}

Bước 3: Lập hệ phương trình và rút gọn

Do vế phải đều là $R^2$, ta lấy (1) trừ (3), (2) trừ (3), (4) trừ (3), được 3 phương trình chỉ còn 3 ẩn$a, b, c$:

- (1)-(3):
$[(1-a)^2 + (2-b)^2 + (1-c)^2] - [(0-a)^2 + (0-b)^2 + (2-c)^2] = 0$

Chia nhỏ các biểu thức và rút gọn từng phương trình:

- (1)-(3):
$(1-a)^2 - (0-a)^2 + (2-b)^2 - (0-b)^2 + (1-c)^2 - (2-c)^2 = 0$
$ig([1-2a+a^2] - [a^2]ig) + ig([4-4b+b^2] - [b^2]ig) + ig([1-2c+c^2] - [4-4c+c^2]ig) = 0$
$[1-2a] + [4-4b] + [1-2c - 4 + 4c] = 0$
$1-2a + 4-4b + 1-2c -4 +4c = 0$
$[1-2a+4-4b+1-2c-4+4c] = 0$
$(-2a-4b-2c+4c)+1+4+1-4=0$
$(-2a-4b+2c)+2=0$
$-2a-4b+2c=-2$
$a+2b-c=1$

Làm tương tự với (2)-(3) và (4)-(3):

- (2)-(3):
$(2-a)^2 - (0-a)^2 + (-1-b)^2 - (0-b)^2 + (3-c)^2 - (2-c)^2 = 0$
$[4-4a+a^2 - a^2] + [1+2b+b^2 - b^2] + [9-6c+c^2 - (4-4c+c^2)] = 0$
$4-4a +1+2b +9-6c-4+4c = 0$
$[4-4a+1+2b+9-6c-4+4c] = 0$
$(-4a+2b-2c)+10=0$
$-4a+2b-2c=-10$
$2a-b+c=5$

- (4)-(3):
$(1-a)^2 - (0-a)^2 + (3-b)^2 - (0-b)^2 + (0-c)^2 - (2-c)^2 = 0$
$[1-2a+a^2 - a^2] + [9-6b+b^2 - b^2] + [0 - (4-4c+c^2)] = 0$
$1-2a + 9-6b -4+4c = 0$
$[1-2a+9-6b-4+4c]=0$
$(-2a-6b+4c)+6=0$
$-2a-6b+4c=-6$
$a+3b-2c=3$

Bước 4: Giải hệ ba phương trình ba ẩn$a$,$b$,$c$

Tóm tắt hệ vừa có:

Giải hệ:
- Từ (1):$a = 1 - 2b + c$
- Thay vào (2):$2(1-2b+c) - b + c = 5 \Rightarrow 2 - 4b + 2c - b + c = 5 \Rightarrow -5b + 3c = 3 \Rightarrow 5b - 3c = -3$
- Thay vào (3):$(1-2b+c) + 3b - 2c = 3 \Rightarrow 1 - 2b + c + 3b - 2c = 3 \Rightarrow 1 + b - c = 3 \Rightarrow b - c = 2$
=> Từ đây:$b = c + 2$
Thay vào$5b - 3c = -3$hợp với trên:
$5(c+2) - 3c = -3 \Rightarrow 5c+10-3c=-3 \Rightarrow 2c= -13 \Rightarrow c=-6.5$
Vậy$b = -6.5 + 2 = -4.5$
$a = 1 - 2(-4.5) + (-6.5) = 1 + 9 -6.5 = 3.5$

Kết quả:
$(a, b, c) = (3.5, -4.5, -6.5)$

Bước 5: Tìm bán kính$R$

Thay tọa độ một điểm (ví dụ $A$) vào phương trình cầu để tìm$R^2$:
$(1-3.5)^2 + (2-(-4.5))^2 + (1-(-6.5))^2 = R^2$
$( -2.5)^2 + (6.5)^2 + (7.5)^2 = R^2$
$6.25 + 42.25 + 56.25 = R^2$
$R^2 = 104.75$

Vậyundefined

Bước 6: Kết luận phương trình mặt cầu

Phương trình mặt cầu qua 4 điểm đã cho là:
$(x - 3.5)^2 + (y + 4.5)^2 + (z + 6.5)^2 = 104.75$

Học sinh hãy kiểm tra lại với các điểm còn lại để đảm bảo từng bước giải đúng.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

- Phương trình mặt cầu tâm$(a,b,c)$bán kính$R$:$(x-a)$^2 +$(y-b)$^2 +$(z-c)$^2 = R^2 - Dạng mở rộng: x^2 + y^2 + z^2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 Trong đó: -$a$,$b$,$c$là các hệ số liên quan đến tâm cầu$($-a$,$-b$,$-c$)$. -$d = a^2 + b^2 + c^2 - R^2$- Kỹ năng rút gọn hệ phương trình: - Khi có nhiều ẩn, sử dụng phương pháp thế, cộng đại số, loại trừ để giải.

6. Các biến thể và điều chỉnh chiến lược

- Nếu thay vì 4 điểm, đề cho ba điểm và một điều kiện (tâm nằm trên một mặt phẳng, mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng, etc), bạn lập hệ dựa trên 4 điều kiện tương đương.
- Nếu đề yêu cầu mặt cầu ngoại tiếp một tứ diện: bài toán hoàn toàn giống như qua 4 đỉnh.
- Dạng phối hợp: Ba điểm và tâm nằm trên trục Ox, Oy, hay Oz: lúc đó một ẩn coi như đã biết => hệ đơn giản hơn.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết từng bước

Bài tập: Tìm phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm$A(1,0,0)$,$B(0,2,0)$,$C(0,0,3)$,$D(1,2,3)$.

Lời giải:
1. Gọi phương trình mặt cầu tâm$(a, b, c)$, bán kính$R$:
$(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$
2. Thay các điểm vào:
-$A$:$(1-a)^2 + (0-b)^2 + (0-c)^2 = R^2$.
-$B$:$(0-a)^2 + (2-b)^2 + (0-c)^2 = R^2$.
-$C$:$(0-a)^2 + (0-b)^2 + (3-c)^2 = R^2$.
-$D$:$(1-a)^2 + (2-b)^2 + (3-c)^2 = R^2$.
3. Lấy (1)-(3):$[(1-a)^2 - (0-a)^2] + [(0-b)^2 - (0-b)^2] + [(0-c)^2 - (3-c)^2]=0$
=>$1-2a + a^2 - a^2 + 0 + 0 + c^2 - 9+6c - c^2=0$
=>$1-2a -9+6c=0$
=>$-2a +6c = 8$<=>$a-3c=-4$(1)
4. Lấy (2)-(3):$[(0-a)^2 - (0-a)^2] + [(2-b)^2-(0-b)^2]+[(0-c)^2-(3-c)^2]=0$
=>$0 + [4-4b+b^2 - b^2] + [c^2 - 9+6c - c^2]=0$
=>$4-4b -9+6c=0$
=>$-4b+6c = 5$<=>$4b-6c=-5$(2)
5. Lấy (4)-(3):$(1-a)^2-(0-a)^2+(2-b)^2-(0-b)^2+(3-c)^2-(3-c)^2=0$
=>$1-2a+a^2 - a^2 + [4-4b+b^2 - b^2]+0=0$
=>$1-2a+4-4b=0$
=>$-2a-4b=-5$<=>$2a+4b=5$(3)
6. Giải hệ:
- (1):$a-3c=-4$
- (2):$4b-6c=-5$
- (3):$2a+4b=5$
Từ (3):$a = \frac{5-4b}{2}$
Thay vào (1):$\frac{5-4b}{2} - 3c = -4 \Rightarrow \frac{5-4b+8}{2} = 3c \Rightarrow 3c = \frac{13-4b}{2}$<=>$c=\frac{13-4b}{6}$
Thay$c$vào (2):$4b-6\left(\frac{13-4b}{6}\right)=-5$<=>$4b - (13-4b) = -5$<=>$4b-13+4b=-5$<=>$8b = 8$<=>$b=1$
$c = \frac{13-4 \times 1}{6} = \frac{9}{6} = 1.5$
$a = \frac{5-4 \times 1}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$
7. Tìm$R^2$bằng cách thay$A$:$(1-0.5)^2 + (0-1)^2 + (0-1.5)^2 = R^2$
$0.25+1+2.25=R^2$
$R^2=3.5$
8. Vậy đáp án:
Phương trình mặt cầu:
$(x-0.5)^2 + (y-1)^2 + (z-1.5)^2 = 3.5$

8. Bài tập thực hành tự luyện

Bài 1: Tìm phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm$A(1,1,1)$,$B(2,1,0)$,$C(0,2,1)$,$D(1,0,2)$.

Bài 2: Xác định phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện có các đỉnh$E(0,4,0)$,$F(2,2,2)$,$G(0,2,4)$,$H(4,0,0)$.

Bài 3: Tìm phương trình mặt cầu đi qua ba điểm$K(1,2,3)$,$L(-1,0,2)$,$M(3,-1,1)$và tâm thuộc mặt phẳng$x+y+z=1$.

(Học sinh tự trình bày lời giải theo từng bước đã hướng dẫn ở trên!)

9. Mẹo nhớ, lưu ý tránh sai lầm phổ biến

- Bố trí lại các bước thật cẩn thận, chú ý lập hệ, tránh nhầm lẫn dấu hoặc nhầm hệ số.
- Sau khi tìm được tọa độ tâm, nên kiểm tra lại bằng cách thay các điểm vào phương trình mặt cầu để xác nhận đáp án.
- Nếu các điểm cho đồng phẳng, mặt cầu không xác định (chú ý điều kiện 4 điểm không đồng phẳng!).
- Ưu tiên sử dụng máy tính hỗ trợ cộng số, trừ số chuẩn xác.
- Đọc kỹ dữ kiện để xây dựng hệ phương trình đúng đủ điều kiện.

Tổng kết

Bài toán "phương trình mặt cầu qua bốn điểm" là một dạng quan trọng trong hình học không gian lớp 12. Nắm vững chiến lược giải, kĩ năng lập hệ và tính toán chính xác sẽ giúp bạn tự tin xử lý không chỉ bài tập, kiểm tra mà cả các đề thi! Luyện tập thêm các bài thực hành để thành thạo hơn.