Cách giải bài toán phương trình mặt cầu qua bốn điểm lớp 12 – Chiến lược và bài tập minh họa

1. Giới thiệu về bài toán phương trình mặt cầu qua bốn điểm

Trong chương trình Toán lớp 12, bài toán "phương trình mặt cầu qua bốn điểm" là một dạng toán điển hình trong chủ đề Hình học không gian. Dạng bài này thường xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia và các bài kiểm tra lớn, giúp học sinh củng cố, rèn luyện kỹ năng lập phương trình mặt cầu, xác định tâm và bán kính, đồng thời phát triển khả năng tư duy không gian.

2. Đặc điểm của bài toán phương trình mặt cầu qua bốn điểm

Bài toán cho sẵn toạ độ bốn điểm phân biệt không thẳng hàng và không cùng nằm trên một mặt phẳng. Nhiệm vụ là viết phương trình mặt cầu đi qua cả bốn điểm đó. Đây là bài toán xác định duy nhất một mặt cầu trong không gian ba chiều.

Các dữ liệu thường gặp:
Toạ độ bốn điểm $A(x_1, y_1, z_1)$ , $B(x_2, y_2, z_2)$ , $C(x_3, y_3, z_3)$ , $D(x_4, y_4, z_4)$ .
Các điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Để giải dạng toán này, cách tiếp cận hiệu quả nhất là:

- Viết phương trình mặt cầu tổng quát.
- Thay toạ độ các điểm vào phương trình, lập hệ phương trình.
- Giải hệ để tìm các hệ số (tọa độ tâm và bán kính hoặc hằng số trong phương trình).

4. Các bước giải bài toán chi tiết với ví dụ minh họa

Giả sử bài toán: Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm:

$A(1,2,3)$ , $B(2,0,1)$ , $C(0,-1,4)$ , $D(-1,2,0)$

Ta tiến hành theo các bước:

Bước 1: Đặt phương trình mặt cầu dạng tổng quát:
$(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$

hoặc chuyển về dạng khai triển:

$x^2 + y^2 + z^2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0$

Bước 2: Thay toạ độ bốn điểm vào phương trình trên để tạo thành bốn phương trình:
Ví dụ với điểm $A(1,2,3)$ :
$1^2 + 2^2 + 3^2 + 2a \cdot 1 + 2b \cdot 2 + 2c \cdot 3 + d = 0$
Tương tự cho $B,C,D$ .

Bước 3: Lập hệ phương trình với 4 ẩn $a, b, c, d$ và giải hệ này để tìm các ẩn.

Bước 4: Sau khi tìm được $a, b, c, d$ , thế vào phương trình đã chọn là ra phương trình mặt cầu cần tìm.

Giải ví dụ minh họa:

- Điểm A: $1^2+2^2+3^2 + 2a \cdot 1 + 2b \cdot 2 + 2c \cdot 3 + d=0$ (1) $2^2+0^2+1^2 + 2a \cdot 2 + 2b \cdot 0 + 2c \cdot 1 + d=0$ (2)" data-math-type="inline"> $- Điểm B:<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msup><mn>2</mn><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mn>0</mn><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mn>1</mn><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>a</mi><mo>⋅</mo><mn>2</mn><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>b</mi><mo>⋅</mo><mn>0</mn><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>c</mi><mo>⋅</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>d</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">2^2+0^2+1^2 + 2a \cdot 2 + 2b \cdot 0 + 2c \cdot 1 + d=0</annotation></semantics></math>22+02+12+2a⋅2+2b⋅0+2c⋅1+d=0(2)$

- Điểm C: $0^2+(-1)^2+4^2 + 2a \cdot 0 + 2b \cdot (-1) + 2c \cdot 4 + d=0$ (3) $(-1)^2+2^2+0^2 + 2a \cdot (-1) + 2b \cdot 2 + 2c \cdot 0 + d=0$ (4)" data-math-type="inline"> $- Điểm D:<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><msup><mo stretchy="false">)</mo><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mn>2</mn><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mn>0</mn><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>a</mi><mo>⋅</mo><mo stretchy="false">(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>b</mi><mo>⋅</mo><mn>2</mn><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>c</mi><mo>⋅</mo><mn>0</mn><mo>+</mo><mi>d</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(-1)^2+2^2+0^2 + 2a \cdot (-1) + 2b \cdot 2 + 2c \cdot 0 + d=0</annotation></semantics></math>(−1)2+22+02+2a⋅(−1)+2b⋅2+2c⋅0+d=0(4)$

Tính toán hệ phương trình, ta có:

Từ (1): $1+4+9+2a+4b+6c+d=0$ \Rightarrow 14+2a+4b+6c+d=0 $4+0+1+4a+0+2c+d=0$ \Rightarrow 5+4a+2c+d=0" data-math-type="inline"> $Từ (2):<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mn>4</mn><mo>+</mo><mn>0</mn><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>4</mn><mi>a</mi><mo>+</mo><mn>0</mn><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>d</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">4+0+1+4a+0+2c+d=0</annotation></semantics></math>4+0+1+4a+0+2c+d=0 \Rightarrow 5+4a+2c+d=0$

Từ (3): $0+1+16+0-2b+8c+d=0$ \Rightarrow 17-2b+8c+d=0 $1+4+0-2a+4b+0+d=0$ \Rightarrow 5-2a+4b+d=0" data-math-type="inline"> $Từ (4):<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>4</mn><mo>+</mo><mn>0</mn><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>a</mi><mo>+</mo><mn>4</mn><mi>b</mi><mo>+</mo><mn>0</mn><mo>+</mo><mi>d</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">1+4+0-2a+4b+0+d=0</annotation></semantics></math>1+4+0−2a+4b+0+d=0 \Rightarrow 5-2a+4b+d=0$

Giải hệ phương trình trên (nên giải theo từng bước, dùng phương pháp cộng đại số hoặc thế), bạn sẽ có $a, b, c, d$ và lập được phương trình mặt cầu.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

Hình minh họa: Minh họa quá trình thay toạ độ điểm A(1,2,3) vào phương trình tổng quát x² + y² + z² + 2ax + 2by + 2cz + d = 0, thu được phương trình 1² + 2² + 3² + 2a·1 + 2b·2 + 2c·3 + d = 0; tương tự áp dụng cho B, — Minh họa quá trình thay toạ độ điểm A(1,2,3) vào phương trình tổng quát x² + y² + z² + 2ax + 2by + 2cz + d = 0, thu được phương trình 1² + 2² + 3² + 2a·1 + 2b·2 + 2c·3 + d = 0; tương tự áp dụng cho B,

Phương trình mặt cầu dạng khai triển: $x^2 + y^2 + z^2 + 2a x + 2b y + 2c z + d = 0$
Tâm mặt cầu $I(-a, -b, -c)$
Bán kính mặt cầu: $R=\sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - d}$ (nếu $d$ đảm bảo $R>0$ )
Thay toạ độ các điểm vào phương trình để tạo hệ.
Nếu $n$ điểm cần lập mặt cầu chung, số điểm tối đa là 4 để xác định duy nhất một mặt cầu.

6. Các biến thể và cách điều chỉnh chiến lược

- Nếu bài cho ba điểm, đề sẽ thêm điều kiện khác (ví dụ: tiếp xúc mặt phẳng, chứa trục...)
- Nếu một trong bốn điểm trùng nhau hoặc đồng phẳng: Không có mặt cầu duy nhất.
- Có thể gặp bài cho ba điểm và tâm của mặt cầu.
- Bài toán có thể đảo lại: biết phương trình mặt cầu và hỏi điều kiện để nó đi qua bốn điểm.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập: Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm $A(1,0,2), B(2,1,1), C(0,-1,3), D(1,1,1)$ .

Giả sử phương trình mặt cầu là: $x^2 + y^2 + z^2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0$

- Với $A(1,0,2)$ : $1^2 + 0 + 4 + 2a + 0 + 4c + d = 0 \rightarrow 5 + 2a + 4c + d = 0$ (1)
- Với $B(2,1,1)$ : $4 + 1 + 1 + 4a + 2b + 2c + d = 0 \rightarrow 6 + 4a + 2b + 2c + d = 0$ (2)
- Với $C(0,-1,3)$ : $0 + 1 + 9 + 0 - 2b + 6c + d = 0 \rightarrow 10 - 2b + 6c + d = 0$ (3)
- Với $D(1,1,1)$ : $1+1+1 + 2a+2b+2c + d = 0 \rightarrow 3+2a+2b+2c + d =0$ (4)

Giải hệ phương trình:

(1) $5+2a+4c+d=0$
(2) $6+4a+2b+2c+d=0$
(3) $10-2b+6c+d=0$
(4) $3+2a+2b+2c + d = 0$

Trừ (4) cho (1): $(3+2a+2b+2c+d)-(5+2a+4c+d)=0 \Rightarrow -2+2b-2c=0 \Rightarrow b = c +1$

Tương tự, sử dụng phép trừ và thế để giải tiếp các ẩn, ta ra được nghiệm:

$a= -7$ , $b=4$ , $c=3$ , $d=8$ . (Học sinh nên tự trình bày rõ chi tiết các bước tính toán để thành thạo kỹ năng lập và giải hệ phương trình).

Vậy: $x^2 + y^2 + z^2 -14x + 8y + 6z + 8 = 0$ là phương trình mặt cầu cần tìm.

8. Bài tập tự luyện

Bài 1: Lập phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm $A(0,1,2)$ , $B(1,2,1)$ , $C(2,0,3)$ , $D(1,-1,1)$ .

Bài 2: Viết phương trình mặt cầu đi qua các điểm sau: $A(0,0,0)$ , $B(1,1,1)$ , $C(2,0,2)$ , $D(1,2,1)$ .

Học sinh nên tự trình bày các bước rõ ràng, thay số cẩn thận để tránh nhầm lẫn khi giải hệ.

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

Nhớ thay toạ độ chính xác và kiểm tra lại từng bước.
Chỉ cần giải hệ 4 phương trình 4 ẩn – kết quả duy nhất.
Nếu hệ vô nghiệm hoặc vô số nghiệm, kiểm tra lại dữ kiện.
Có thể dùng máy tính bỏ túi hoặc phần mềm để bấm nghiệm hệ khi số phức tạp.
Sau khi tìm được phương trình, hãy kiểm tra lại bốn điểm đã thoả mãn chưa bằng cách thay ngược vào.
Cố gắng trình bày các bước rõ ràng, phân tích hệ logic để tránh mắc lỗi khi tính toán.

Blog

Chiến lược giải quyết bài toán phương trình mặt cầu qua bốn điểm lớp 12

1. Giới thiệu về bài toán phương trình mặt cầu qua bốn điểm

2. Đặc điểm của bài toán phương trình mặt cầu qua bốn điểm

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

4. Các bước giải bài toán chi tiết với ví dụ minh họa

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

6. Các biến thể và cách điều chỉnh chiến lược

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

8. Bài tập tự luyện

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

Danh mục:

Thẻ:

Tác giả

Liên hệ

Pháp lý

Blog

1. Giới thiệu về bài toán phương trình mặt cầu qua bốn điểm

2. Đặc điểm của bài toán phương trình mặt cầu qua bốn điểm

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

4. Các bước giải bài toán chi tiết với ví dụ minh họa

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

6. Các biến thể và cách điều chỉnh chiến lược

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

8. Bài tập tự luyện

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

Danh mục:

Thẻ:

Tác giả

Liên hệ

Pháp lý

Theo dõi chúng tôi tại

Nhận thông tin mới nhất về chúng tôi