Chiến Lược Giải Bài Toán Phương Trình Mặt Phẳng Qua Ba Điểm Lớp 12 Chi Tiết, Có Ví Dụ Minh Họa

1. Giới thiệu về bài toán phương trình mặt phẳng qua ba điểm

Trong chương trình Hình học không gian lớp 12, dạng bài toán tìm phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng là kiến thức rất quan trọng. Đây là một trong những kỹ năng nền tảng để giải các bài toán về mặt phẳng, đường thẳng, giao tuyến, góc, khoảng cách,... Việc hiểu rõ chiến lược giải bài toán này giúp học sinh xây dựng tư duy hình học không gian vững chắc, chuẩn bị tốt cho các kỳ thi quan trọng như thi THPT Quốc gia và các kỳ thi học sinh giỏi.

2. Phân tích đặc điểm của bài toán phương trình mặt phẳng qua ba điểm

Dạng toán này cho trước tọa độ ba điểm$A(x_A;y_A;z_A)$,$B(x_B;y_B;z_B)$,$C(x_C;y_C;z_C)$, yêu cầu viết phương trình mặt phẳng$(P)$ đi qua cả ba điểm đó.

• Ba điểm phải khác nhau và không thẳng hàng (Nếu thẳng hàng thì không xác định được một mặt phẳng duy nhất).
• Vấn đề cốt lõi là tìm một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng và sử dụng một trong ba điểm để lập phương trình mặt phẳng.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Để giải quyết bài toán này, hãy tuân thủ các bước chiến lược sau:

1. Tìm hai véc tơ chỉ phương là $\overrightarrow{AB}$và $\overrightarrow{AC}$.
2. Tìm véc tơ pháp tuyến$\overrightarrow{n}$của mặt phẳng bằng tích có hướng$\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$.
3. Dùng véc tơ pháp tuyến và điểm$A$ để lập phương trình mặt phẳng theo dạng tổng quát.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Giả sử cho 3 điểm$A(1;2;3)$,$B(2;0;5)$,$C(3;1;1)$. Hãy tìm phương trình mặt phẳng$(P)$ đi qua ba điểm này.

Bước 1: Tính các véc tơ chỉ phương

$\overrightarrow{AB} = (2-1;\ 0-2;\ 5-3) = (1;\ -2;\ 2)$

$\overrightarrow{AC} = (3-1;\ 1-2;\ 1-3) = (2;\ -1;\ -2)$

Bước 2: Tìm véc tơ pháp tuyến bằng phép tích có hướng

Gọi$\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (a; b; c)$, với:

Vậy$\overrightarrow{n} = (6; 6; 3)$.

Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm$A(1;2;3)$có véc tơ pháp tuyến$\overrightarrow{n} = (6;6;3)$.

Phương trình tổng quát là: 6$(x-1)$+ 6$(y-2)$+ 3$(z-3)$= 0 Khai triển:

$6x + 6y + 3z -6 -12 -9 = 0 \Leftrightarrow 6x + 6y + 3z = 27$

Ta có thể rút gọn chia cả hai vế cho$3$:
2x + 2y + z = 9

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là $2x + 2y + z = 9$.

5. Các công thức, kỹ thuật cần nhớ khi giải

• Công thức véc tơ chỉ phương:$\overrightarrow{AB} = (x_B-x_A; y_B-y_A; z_B-z_A)$
• Tích có hướng hai véc tơ $\overrightarrow{u} = (u_1;u_2;u_3)$,$\overrightarrow{v}=(v_1;v_2;v_3)$:
  \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = (u_2v_3-u_3v_2;\u_3v_1-u_1v_3;\u_1v_2-u_2v_1)
• Phương trình tổng quát của mặt phẳng:$a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$, với$(x_0;y_0;z_0)$là tọa độ 1 điểm thuộc mp,$(a;b;c)$là véc tơ pháp tuyến.

6. Các biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

Ngoài dạng cơ bản, bài toán có nhiều biến thể:

• Ba điểm cho trước nhưng ở dạng tham số hoặc có chứa ẩn.
• Yêu cầu tìm tham số để ba điểm xác định cùng một mặt phẳng với điều kiện nhất định.
• Bài toán yêu cầu chứng minh 3 điểm cùng nằm trên một mặt phẳng cho trước.
• Yêu cầu tìm thêm điều kiện để 3 điểm không thẳng hàng.

Với mỗi biến thể, hãy xác định rõ tọa độ các điểm, kiểm tra không thẳng hàng, tính tích có hướng chính xác, và điều chỉnh hướng tiếp cận sao cho chắc chắn về điều kiện tồn tại mặt phẳng.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết từng bước

Bài tập: Cho ba điểm$A(0;1;2)$,$B(1;0;3)$,$C(-1;-1;0)$. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm đó.

1. Tính$\overrightarrow{AB} = (1-0;\ 0-1;\ 3-2) = (1; -1; 1)$
2. Tính$\overrightarrow{AC} = (-1-0;\ -1-1;\ 0-2) = (-1; -2; -2)$
3. Tìm véc tơ pháp tuyến:
   
   \begin{align*} a & = (-1) \cdot (-2) - 1 \cdot (-2) = 2 + 2 = 4 \\b & = 1 \cdot (-1) - 1 \cdot (-2) = -1 + 2 = 1 \\c & = 1 \cdot (-2) - (-1) \cdot (-1) = -2 -1 = -3 \\\end{align*}<span class="math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo>&lt;</mo><mi>b</mi><mi>r</mi><mo>&gt;</mo><mi>V</mi><mtext>ậ</mtext><mi>y</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">&lt;br&gt;Vậy</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.5782em;vertical-align:-0.0391em;"></span><span class="mrel">&lt;</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7335em;vertical-align:-0.0391em;"></span><span class="mord mathnormal">b</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">r</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">&gt;</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mord">ậ</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">y</span></span></span></span></span>\overrightarrow{n} = (4;1;-3)
4. Viết phương trình mặt phẳng qua$A(0;1;2)$:
   
   $4(x-0) + 1(y-1) -3(z-2) = 0$
   $4x + y - 1 -3z +6 = 0$
   $4x + y -3z +5 = 0$

Vậy phương trình mặt phẳng là $4x + y - 3z + 5 = 0$.

8. Bài tập luyện tập (không giải, chỉ ra đáp số)

• 1. Cho$A(1;0;-2)$,$B(3;1;2)$,$C(0;-1;4)$. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm này.
• 2. Cho$A(2;1;3)$,$B(4;-1;5)$,$C(-1;3;0)$. Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm này.
• 3. Tìm giá trị $m$ để ba điểm$A(0;0;1)$,$B(m;1;0)$,$C(1;2;m)$thẳng hàng.

Đáp số:
1.$3x + y + z - 3 = 0$2.$-8x + 13y + 10z - 49 = 0$3.$m = 0$hoặc$m = 1$.

9. Các mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Luôn kiểm tra ba điểm có thẳng hàng không trước khi lập phương trình mặt phẳng.
• Cẩn thận khi tính tích có hướng – phải đúng thứ tự hai véc tơ để tránh đổi dấu.
• Không nên bỏ qua bước đơn giản hóa hệ số phương trình mặt phẳng để phương trình đẹp và ngắn gọn.
• Chọn điểm xuất phát sao cho phép tính dễ nhất (thường là điểm có tọa độ nhỏ hoặc nhiều số 0).
• Nếu tổng quát, luôn kiểm tra điều kiện đủ để xác định duy nhất mặt phẳng (ba điểm không thẳng hàng).

Hy vọng với chiến lược giải bài toán phương trình mặt phẳng qua ba điểm chi tiết ở trên, các em sẽ nắm vững phương pháp này và tự tin giải quyết các dạng toán tương tự trong chương trình Toán 12!