1. Giới thiệu về bài toán Thống kê mô tả và tầm quan trọng

Thống kê mô tả (descriptive statistics) là phần kiến thức không thể thiếu trong chương trình Toán lớp 12, giúp học sinh tổ chức, tóm tắt và mô tả dữ liệu một cách trực quan và hiệu quả. Việc nắm vững cách giải bài toán thống kê mô tả không chỉ hỗ trợ trong các bài kiểm tra, mà còn là nền tảng để bước sang các chủ đề nâng cao như phân tích xác suất, suy luận thống kê và ứng dụng thực tế trong khoa học, kinh tế, xã hội.

2. Phân tích đặc điểm của bài toán Thống kê mô tả

Đặc điểm chính của bài toán thống kê mô tả bao gồm:

• Dữ liệu đầu vào có thể là dữ liệu rời rạc hoặc dữ liệu nhóm (theo lớp).

• Mục tiêu: tính các chỉ số trung tâm (trung bình, trung vị, mode) và chỉ số phân tán (phương sai, độ lệch chuẩn, khoảng biến thiên, quartile…).

• Có thể hiển thị kết quả bằng bảng tần số, biểu đồ cột, biểu đồ hộp…

• Thường yêu cầu vận dụng công thức LaTeX để biểu diễn chính xác các công thức toán học.

3. Chiến lược tổng thể khi giải bài toán Thống kê mô tả

Để giải quyết nhanh gọn và chính xác, học sinh cần thực hiện theo chiến lược sau:

• Bước 1: Đọc và hiểu đề, xác định loại dữ liệu (đơn lẻ hay nhóm).

• Bước 2: Sắp xếp hoặc xây dựng bảng tần số, tính tổng tần số $n$.

• Bước 3: Tính các chỉ số trung tâm:
– Trung bình: $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$.
– Trung vị: xác định vị trí $\frac{n+1}{2}$ hoặc nội suy cho dữ liệu nhóm.
– Mode: tìm giá trị có tần số cao nhất.

• Bước 4: Tính các chỉ số phân tán:
– Khoảng biến thiên: $R = x_{(n)} - x_{(1)}$.
– Phương sai: $s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2$hoặc$\frac{1}{n-1}\sum (x_i-\bar{x})^2$.
– Độ lệch chuẩn: $s = \sqrt{s^2}$.
– Hệ số biến thiên: $CV = \frac{s}{\bar{x}} \times 100\%$.

• Bước 5: Vẽ biểu đồ hoặc trình bày bảng nếu cần.

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Giả sử dữ liệu rời rạc sau:

5, 7, 8, 8, 10, 12, 15

Bước 1: Sắp xếp dữ liệu tăng dần:
5, 7, 8, 8, 10, 12, 15

Bước 2: Tính trung bình:

$\bar{x} = \frac{5+7+8+8+10+12+15}{7} = \frac{65}{7} \approx 9{,}2857.$

Bước 3: Tính trung vị:
Số phần tử $n=7$, vị trí trung vị là $\frac{n+1}{2}=4$. Giá trị thứ 4 trong dãy đã sắp xếp là 8.

Bước 4: Tìm mode (giá trị xuất hiện nhiều nhất): 8 (tần số 2).

Bước 5: Tính chỉ số phân tán:
– Khoảng biến thiên: $R = 15 - 5 = 10. <br />– Phương sai (dân số):<br />$s^2 = \frac{1}{7}\sum_{i=1}^7 (x_i - 9{,}2857)^2 \approx \frac{67{,}4286}{7} = 9{,}6327.$<br />– Độ lệch chuẩn: s = \sqrt{9{,}6327} \approx 3{,}1046.$

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Trung bình cộng: $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$.

• Trung vị: vị trí $\frac{n+1}{2}$với$n$lẻ; trung bình hai giá trị giữa với$n$chẵn.

• Mode: giá trị có tần số lớn nhất.

• Phương sai (dân số): $s^2 = \frac{1}{n}\sum (x_i - \bar{x})^2$.

• Phương sai (mẫu): $s^2 = \frac{1}{n-1}\sum (x_i - \bar{x})^2$.

• Độ lệch chuẩn: $s = \sqrt{s^2}$.

• Khoảng biến thiên:$R = x_{(n)} - x_{(1)}$.

• Hệ số biến thiên:$CV = \frac{s}{\bar{x}} \times 100\%$.

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

• Dữ liệu theo lớp: xây dựng bảng tần số, tính tần suất và xác định điểm trung bình lớp (midpoint) để tính trung bình và phương sai.

• Dữ liệu có ngoại lệ (outliers): cân nhắc sử dụng trung vị thay vì trung bình để phản ánh đúng trung tâm.

• Tính quartile, percentiles: dùng công thức vị trí $\frac{k(n+1)}{100}$cho percentiles.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Đề bài: Cho dãy số 2, 4, 4, 6, 8. Hãy tính: trung bình, trung vị, mode, phương sai và độ lệch chuẩn.

Giải:

• Sắp xếp: 2, 4, 4, 6, 8 (n=5).

• Trung bình:$\bar{x} = \frac{2+4+4+6+8}{5} = \frac{24}{5} = 4{,}8.$

• Trung vị: vị trí $\frac{5+1}{2}=3$, giá trị thứ 3 là 4.

• Mode: 4 xuất hiện nhiều nhất.

• Phương sai (dân số):
$s^2 = \frac{1}{5}[(2-4{,}8)^2 + 2(4-4{,}8)^2 + (6-4{,}8)^2 + (8-4{,}8)^2]$
$= \frac{1}{5}[7{,}84 + 2(0{,}64) + 1{,}44 + 10{,}24] = \frac{1}{5}(20{,}8) = 4{,}16.$

• Độ lệch chuẩn: $s = \sqrt{4{,}16} = 2{,}04.$

8. Bài tập thực hành

1) Cho dữ liệu: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15. Tính trung bình, trung vị, phương sai và độ lệch chuẩn.

2) Cho bảng tần số sau:
Lớp số liệu: [0,10), [10,20), [20,30), [30,40)
Tần số: 5, 8, 12, 5
Hãy xác định trung bình và phương sai riêng (dân số).

3) Phân tích một bộ dữ liệu thực tế (ví dụ điểm kiểm tra 15 học sinh) và rút ra nhận xét.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Luôn sắp xếp hoặc lập bảng tần số ngay từ đầu để tránh nhầm lẫn khi tính chỉ số.

• Chú ý phân biệt công thức phương sai dân số và mẫu.

• Đối với dữ liệu nhóm, nhớ dùng điểm giữa của mỗi lớp để tính trung bình và phương sai.

• Kiểm tra lại tổng tần số và tổng giá trị trước khi tính trung bình.

• Khi tính trung vị và percentiles, nếu vị trí không phải số nguyên, nội suy giữa hai giá trị liền kề.