1. Giới thiệu về bài toán Thống kê mô tả và tầm quan trọng

Thống kê mô tả là mảng toán học chuyên nghiên cứu các phương pháp thu thập, phân loại, tổ chức và trình bày dữ liệu; từ đó rút ra các đặc trưng tiêu biểu như số trung bình, trung vị, mốt, tứ phân vị, phương sai, độ lệch chuẩn,... Đối với học sinh lớp 12, việc nắm vững và vận dụng các phương pháp thống kê không chỉ giúp giải quyết các bài toán thực tế mà còn hỗ trợ đắc lực cho việc học tập các môn khoa học khác. Bên cạnh đó, đây còn là phần kiến thức trọng tâm trong các kỳ thi THPT Quốc gia cũng như các kì kiểm tra đánh giá năng lực.2. Phân tích đặc điểm của bài toán Thống kê mô tảCác bài toán thống kê mô tả thường có đặc điểm là cung cấp một bảng số liệu (dạng ghép nhóm hoặc dạng dữ liệu rời rạc), yêu cầu tính các đại lượng đặc trưng (trung bình cộng, phương sai, độ lệch chuẩn, khoảng tứ phân vị, mốt, trung vị, v.v.), đôi khi có thể yêu cầu so sánh nhiều nhóm số liệu hoặc phân tích biểu đồ. Bài toán có thể ở dạng số liệu chưa sắp xếp/nguyên bản hoặc đã ghép nhóm.3. Chiến lược tổng thể giải quyết bài toán Thống kê mô tảĐọc kỹ đề bài, nhận diện dạng số liệu (dữ liệu nguyên, dữ liệu ghép nhóm, bảng tần số,...);Xác định yêu cầu bài toán: đại lượng cần tính (trung bình, trung vị, mode, khoảng tứ phân vị, phương sai, độ lệch chuẩn);Ghi nhớ công thức thích hợp và xác định các giá trị cần thay vào;Thực hiện các phép tính theo trình tự (lưu ý chính xác các bước cộng, nhân, chia, bình phương);Kiểm tra tính hợp lý của kết quả, so sánh với số liệu tổng quát (nếu cần).4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họaGiả sử đề bài: "Cho bảng số liệu ghép nhóm sau đây về chiều cao (đơn vị: cm) của 50 học sinh lớp 12A:

| Khoảng lớp | Số học sinh |
|:-----------:|:-----------:|
|150 – 154 | 3 |
|155 – 159 | 7 |
|160 – 164 | 12 |
|165 – 169 | 15 |
|170 – 174 | 8 |
|175 – 179 | 5 |
|180 – 184 | 0 |

Yêu cầu: Hãy tính điểm trung bình, trung vị, mốt, phương sai và độ lệch chuẩn của chiều cao."Bước 1: Xác định dạng số liệuSố liệu đã ghép nhóm: Các học sinh đã được xếp vào từng khoảng chiều cao nhất định.Bước 2: Tính giá trị trung tâm (giả sử các giá trị trong mỗi nhóm đều dồn về trung điểm khoảng lớp)Tính trung điểm $x_i$từng lớp:
- Lớp 1:$x_1 = \frac{150 + 154}{2} = 152$
- Lớp 2: $x_2 = \frac{155 + 159}{2} = 157$
- Lớp 3: $x_3 = \frac{160 + 164}{2} = 162$
- Lớp 4: $x_4 = \frac{165 + 169}{2} = 167$
- Lớp 5: $x_5 = \frac{170 + 174}{2} = 172$
- Lớp 6: $x_6 = \frac{175 + 179}{2} = 177$
- Lớp 7: $x_7 = \frac{180 + 184}{2} = 182$
Tần số $n_i$lần lượt: 3, 7, 12, 15, 8, 5, 0.Bước 3: Tính trung bình cộngCông thức trung bình cộng mẫu ghép nhóm:$\overline{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} n_i x_i}{N} <br />Thay số:<br />$\overline{x} = \frac{3 \times 152 + 7 \times 157 + 12 \times 162 + 15 \times 167 + 8 \times 172 + 5 \times 177 + 0 \times 182}{50}$<br /> = \frac{456 + 1099 + 1944 + 2505 + 1376 + 885 + 0}{50}$
$= \frac{8265}{50} = 165,3$
Vậy trung bình cộng là $165,3$(cm).Bước 4: Tính trung vịTính tổng cộng dồn tần số:
- Lớp 1: 3
- Lớp 2:$3+7=10$
- Lớp 3: $10+12=22$
- Lớp 4: $22+15=37$
- Lớp 5: $37+8=45$
- Lớp 6: $45+5=50$

Tổng học sinh:$50 \rightarrow$có $\frac{50}{2}=25$(vị trí trung vị nằm ở học sinh thứ 25).
Lớp chứa trung vị là lớp 4 ($22 < 25 \leq 37$): 165–169.

Công thức trung vị cho bảng ghép nhóm:
$Me = L + \frac{\frac{N}{2} - F}{f} \times d$
Trong đó:
-$L=165$(cận dưới lớp trung vị)
-$N=50$
-$F=22$(tổng tần số các lớp trước)
-$f=15$(tần số lớp trung vị)
-$d = 169-165=4$

Thay số:
$Me = 165 + \frac{25-22}{15}\times 4 = 165 + \frac{3}{15} \times 4 = 165 + 0,8 = 165,8 <br />Vậy trung vị là 165,8 (cm).Bước 5: Tính mốt (mode)Mốt là giá trị ứng với lớp có tần số lớn nhất, ở đây là lớp 4 (15 học sinh).<br />Công thức tính mốt khi dữ liệu ghép nhóm:<br />$Mo = L + \frac{f_1 - f_0}{(f_1 - f_0) + (f_1-f_2)} \times d$<br />Trong đó:<br />-$L=165$<br />-$f_1=15$(tần số lớp mốt)<br />-$f_0 = 12$(tần số lớp trước)<br />-$f_2 = 8$(tần số lớp sau)<br />-$d=4$<br />$Mo=165 + \frac{15-12}{(15-12)+(15-8)} \times 4 =165 + \frac{3}{3+7} \times 4=165+\frac{12}{10}=166,2
Vậy mốt là 166,2 (cm).Bước 6: Tính phương sai và độ lệch chuẩnCông thức phương sai:
$S^2 = \frac{\sum n_i (x_i - \overline{x})^2}{N}$
Công thức thực hành nhanh (giảm tính toán):
S^2 = \frac{\sum n_i x_i^2}{N} - \overline{x}^2$<br />Tính$\sum n_i x_i^2$:<br />-$n_1 x_1^2 = 3 \times 152^2 = 3 \times 23104 = 69312$<br />-$n_2 x_2^2 = 7 \times 157^2 = 7 \times 24649 = 172543$<br />-$n_3 x_3^2 =12 \times 162^2 =12 \times 26244 = 314928$<br />-$n_4 x_4^2 =15 \times 167^2 =15 \times 27889 =418335$<br />-$n_5 x_5^2 = 8 \times 172^2=8 \times 29584=236672$<br />-$n_6 x_6^2 = 5 \times 177^2=5 \times 31329=156645$<br />-$n_7 x_7^2 =0$<br />Tổng cộng:<br />$69312+172543+314928+418335+236672+156645=1369435$<br />$S^2=\frac{1369435}{50} - (165,3)^2 = 27388,7 - 27316,09 =72,61$<br />Độ lệch chuẩn:$S=\sqrt{72,61} \approx 8,52$(cm).5. Công thức và kỹ thuật cần nhớTrung bình cộng$\overline{x}=\frac{\sum n_i x_i}{N}$.Trung vị cho bảng ghép nhóm:$Me = L + \frac{\frac{N}{2} - F}{f} \times d$.Mốt ghép nhóm:$Mo = L + \frac{f_1 - f_0}{(f_1 - f_0)+(f_1-f_2)} \times d$.Phương sai:$S^2 = \frac{\sum n_i x_i^2}{N} - \overline{x}^2$.Độ lệch chuẩn:$S=\sqrt{S^2}$.Các kỹ thuật: tính cộng dồn tần số, xác định trung điểm, thao tác với công thức chỉ số nhóm, sử dụng bảng phụ để tổng hợp số liệu.6. Biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lượcMột số dạng khác:<br />- Số liệu rời rạc: Cần sắp xếp số liệu, xác định từng vị trí trung vị, mốt trực tiếp từ bảng giá trị.<br />- Bảng tần số chưa ghép nhóm: Áp dụng các công thức tương tự, bỏ qua thao tác trung điểm.<br />- Bài toán yêu cầu tỷ lệ phần trăm, số lượng, biểu đồ: Áp dụng thêm kỹ thuật chuyển đổi và lập bảng tổng hợp.<br />- Khoảng tứ phân vị, xác định phân vị (Q1, Q3) đối với bảng ghép nhóm: Áp dụng quy tắc công thức phân vị tương tự trung vị nhưng thay đổi vị trí xét (Q1:$\frac{N}{4}$; Q3:$\frac{3N}{4}$).7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết từng bướcBài tập:
Cho bảng số liệu ghép nhóm về số điểm kiểm tra Toán 12A (trên thang 10 điểm) của 40 học sinh:

| Khoảng điểm | Số HS |
|:----------:|:------:|
| 3 – 4 | 2 |
| 5 – 6 | 6 |
| 7 – 8 | 16 |
| 9 – 10 | 16 |

Tính điểm trung bình, trung vị, mốt, phương sai và độ lệch chuẩn (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).Hướng dẫn giảiBước 1. Trung điểm các khoảng:$x_1=3,5$;x_2=5,5;x_3=7,5;$x_4=9,5$;
Tần số: 2, 6, 16, 16.

$N=40$

Bước 2. Trung bình:
$\overline{x} = \frac{2 \times 3,5+6 \times 5,5+16 \times 7,5+16 \times 9,5}{40}$
$=\frac{7+33+120+152}{40}=\frac{312}{40}=7,8$

Bước 3. Trung vị:
Vị trí trung vị $\frac{40}{2}=20$; cộng dồn: 2, 8, 24, 40.
Trung vị thuộc lớp 7–8.
$L=7$;F=8;f=16;$d=2$.
$Me=7+\frac{20-8}{16} \times 2=7+\frac{12}{16} \times 2=7+1,5=8,5$

Bước 4. Mốt:
Tần số lớn nhất: 16 (ở 2 lớp 7–8 và 9–10). Cả hai đều là mốt  kiểu dữ liệu "đa mốt".

Bước 5. Phương sai:
Tính $\sum n_ix_i^2$:
$2 \times 3,5^2=24,5$; $6 \times 5,5^2=181,5$
$16 \times 7,5^2=900$; $16 \times 9,5^2=1.444$
Tổng: $24,5+181,5+900+1.444=2.550$
$S^2=\frac{2550}{40}-(7,8)^2=63,75-60,84=2,91$
$S=\sqrt{2,91} \approx 1,71$8. Bài tập thực hànhCho bảng số liệu về khối lượng (kg) của 35 bạn học sinh:

| Khoảng lớp | Số HS |
|:----------:|:-----:|
| 35 – 39 | 3 |
| 40 – 44 | 7 |
| 45 – 49 | 12 |
| 50 – 54 | 9 |
| 55 – 59 | 4 |

Tính:
(a) Khối lượng trung bình
(b) Trung vị
(c) Mốt
(d) Phương sai và độ lệch chuẩn9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biếnCẩn thận khi xác định trung điểm khoảng lớp: trung điểm = \frac{cận~dưới + cận~trên}{2} .Đừng quên kiểm tra tổng số thực thể $N$ sau khi cộng tần số.Phân biệt rõ công thức khi số liệu ghép nhóm và số liệu rời rạc.Nếu có nhiều lớp cùng tần số lớn nhất, dữ liệu là đa mốt.Khi tính phương sai và độ lệch chuẩn luôn làm tròn kết quả hợp lý (tối thiểu 2 chữ số thập phân).Thường xuyên lập bảng phụ để tính cộng dồn, $n_ix_i$ , $n_ix_i^2$ .Kiểm tra lại các thao tác thay số vào công thức để tránh nhầm lẫn.