Chiến lược giải bài toán Tích của một số với một vectơ – Hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu về bài toán tích của một số với một vectơ

Bài toán về "tích của một số với một vectơ" là một trong những kiến thức cơ bản nhưng hết sức quan trọng trong chương trình Toán lớp 12, phần Hình học không gian – chủ đề vectơ. Đây là nền tảng giúp học sinh tiếp cận các vấn đề phức tạp hơn như hình học giải tích, hình học không gian, tọa độ vectơ, và cả ứng dụng trong vật lý.

Kiến thức này không chỉ quan trọng để giải các bài toán về vectơ trong SGK, mà còn là nền tảng để phát triển tư duy toán học và giải quyết các bài tập nâng cao – đồng thời thường xuất hiện trong các đề thi học kỳ và thi tốt nghiệp THPT Quốc gia.

2. Đặc điểm của bài toán tích của một số với một vectơ

Đặc điểm của dạng bài toán này như sau:

• Yêu cầu xác định tích của một số thực$k$với một vectơ $\vec{a}$.
• Đề bài có thể cho dưới dạng độ dài, tọa độ hoặc hình học.
• Có thể ứng dụng thao tác này vào nhiều bài toán tổng hợp: xác định vectơ chỉ phương, tính độ dài, tìm tọa độ điểm,...

Vậy làm sao để giải quyết nhanh, chính xác các bài toán này?

3. Chiến lược tổng thể khi giải bài toán

• Nắm vững định nghĩa và tính chất của phép nhân một vectơ với một số.
• Đọc kỹ đề, xác định vectơ cần nhân, số thực nhân và yêu cầu của bài toán (tọa độ vectơ, độ dài, phương – chiều,...).
• Xác lập biểu diễn tọa độ nếu đề cho dạng tọa độ.
• Áp dụng các công thức và tính chất để tính nhanh kết quả mong muốn.
• Kiểm tra lại ý nghĩa hình học (về phương, chiều, độ dài vectơ mới).

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Hãy cùng phân tích chiến lược giải qua từng bước cụ thể kèm ví dụ!

1. Bước 1: Xác định vectơ và số thực cần nhân.
2. Bước 2: Viết tọa độ hoặc biểu diễn hình học của vectơ.
3. Bước 3: Nhân từng thành phần với số thực$k$theo công thức:
4. Bước 4: Kết luận/vẽ hình minh họa hoặc trả lời yêu cầu đề bài (nếu có).

Ví dụ 1: Cho$\vec{a} = (2; -3; 4)$, tính$-2\vec{a}$.

Giải

• Xác định vectơ:$\vec{a} = (2; -3; 4)$, số thực:$k = -2$.
• Nhân từng thành phần:$-2\vec{a} = (-2) \times (2; -3; 4) = (-4; 6; -8)$.

Vậy$-2\vec{a} = (-4; 6; -8)$.

Ví dụ 2: Cho điểm$A(1;1;2)$,$B(4;2;-1)$, hãy tính$\vec{AB}$và $2\vec{AB}$.

Giải

• Tính$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (4-1; 2-1; -1-2) = (3; 1; -3)$.
• Nhân với 2:$2\vec{AB} = 2 \times (3; 1; -3) = (6; 2; -6)$.

5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ

Công thức tổng quát cần nhớ:

Nếu$\vec{a} = (x; y; z)$thì $k\vec{a} = (kx; ky; kz)$.

• Hướng của$k\vec{a}$cùng chiều với$\vec{a}$nếu$k > 0$, ngược chiều nếu$k < 0$.
• $|k\vec{a}| = |k| \cdot |1vec{a}|$(độ dài bị thay đổi).
• Nếu$k = 0$thì $k\vec{a}$là vectơ-không.

Ngoài ra, bạn cần thuộc công thức tính độ dài vectơ: $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

6. Các biến thể và điều chỉnh chiến lược

Một số biến thể thường gặp:

• Tìm tọa độ điểm biết vectơ liên quan và tích số (ví dụ: cho$A$,$\vec{AB} = 2\vec{a}$, tìm$B$).
• Bài tập yêu cầu nhận xét về phương, chiều, hoặc độ dài của vectơ mới.
• Tìm tọa độ vectơ-đơn vị (khi$|\vec{a}|=1$) thông qua phép nhân với số.
• Vận dụng vào bài toán tổng hợp: xác định điểm, tính diện tích tam giác, thể tích hình chóp,...

Khi gặp các biến thể, hãy linh hoạt sử dụng phép nhân số với vectơ và áp dụng ngược công thức (tìm$k$nếu có độ dài, tìm điểm nếu biết tọa độ vectơ,...).

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập mẫu 1:

Cho$1vec{a} = (1; -2; 3)$,$k = 5$. Tính$k\vec{a}$và độ dài$k\vec{a}$.

Giải

• $k\vec{a} = 5 \times (1; -2; 3) = (5; -10; 15)$
• $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$
• $|5\vec{a}| = 5 \times |\vec{a}| = 5\sqrt{14}$

Bài tập mẫu 2:

Cho điểm$A(2;5;1)$,$\vec{a} = (3;-1;4)$. Tìm toạ độ điểm$B$sao cho$\vec{AB} = -2\vec{a}$.

Giải

• $\vec{AB} = (x_B - 2; y_B - 5; z_B - 1) = -2 \times (3; -1; 4) = (-6; 2; -8)$.
• $\Rightarrow x_B - 2 = -6 \implies x_B = -4$
• $y_B - 5 = 2 \implies y_B = 7$
• $z_B - 1 = -8 \implies z_B = -7$
• $\Rightarrow B(-4; 7; -7)$

8. Bài tập thực hành

Hãy tự luyện tập với các bài sau:

• Cho$\vec{a} = (2; 0; -1)$. Tính$3\vec{a}$và $-2\vec{a}$.
• Cho điểm$A(0;1;2)$,$B(3;2;5)$. Tìm$\vec{AB}$và $-\frac{1}{2}\vec{AB}$.
• Cho$\vec{a} = (1;2;2)$, tìm độ dài của$-4\vec{a}$.
• Cho điểm$M(2;0;-1)$và $\vec{a} = (1;3;2)$. Tìm điểm$N$sao cho$\vec{MN} = 3\vec{a}$.

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

• Nhớ nhân ĐÚNG từng thành phần tọa độ!
• Kiểm tra kỹ dấu (phép nhân với số âm sẽ đảo chiều vectơ).
• Không nhầm lẫn giữa độ dài và thành phần tọa độ – độ dài được nhân trị tuyệt đối của$k$, còn thành phần nhân đúng$k$.
• Vẽ hình minh họa (nếu có thể) giúp hiểu bản chất vectơ mới.
• Hãy thuộc kỹ công thức và bản chất hình học để ứng biến linh hoạt.

Kết luận

Trên đây là hướng dẫn tổng thể về cách giải bài toán "tích của một số với một vectơ", phù hợp với chương trình Toán lớp 12. Hy vọng với chiến lược và các bài tập thực hành, bạn sẽ tự tin khi gặp bất kỳ biến thể nào của dạng toán này!