Chiến lược giải nhanh bài toán tích của một số với một vectơ (Toán 12)

1. Giới thiệu về bài toán tích của một số với một vectơ

Bài toán “tích của một số với một vectơ” là một trong những kiến thức cơ bản nhất của chương Vectơ trong Toán lớp 12. Dạng toán này xuất hiện rất nhiều ở cả phần hình học phẳng lẫn hình học không gian. Việc thành thạo dạng toán này sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán về phương trình đường thẳng, mặt phẳng, tìm tọa độ điểm và nhiều bài toán hình học liên quan đến vectơ.

2. Đặc điểm của dạng bài toán tích của một số với một vectơ

• Mỗi vectơ được xác định bởi tọa độ hoặc theo biểu diễn hình học.
• Tích của số k (hệ số vô hướng) với vectơ $\vec{a}$là một vectơ mới có phương song song (hoặc cùng hoặc ngược hướng) với$\vec{a}$.
• Độ dài của vectơ mới sẽ bằng trị tuyệt đối của k nhân với độ dài của$\vec{a}$.
• Nếu$k > 0$, hướng của$k \vec{a}$trùng với$\vec{a}$; nếu$k < 0$, thì ngược hướng.

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận dạng bài này

1. Nhận diện đề bài yêu cầu dạng tích số với vectơ (dạng: "Tìm$k\vec{a}$", "Cho$\vec{b}=k\vec{a}$, tìm k...", hoặc biểu diễn vectơ theo tổ hợp tuyến tính).
2. Xác định tọa độ vectơ hoặc thông tin về phương, chiều của vectơ.
3. Vận dụng công thức và kiến thức lý thuyết để nhân số với từng tọa độ (hoặc xác định trên hình vẽ) – lưu ý về dấu và chiều.
4. Kiểm tra lại kết quả bằng biểu diễn hình học hoặc kiểm tra độ dài, hướng.

4. Các bước giải quyết chi tiết và ví dụ minh họa

- Giả sử $\vec{a} = (x; y; z)$và k là một số thực.

=> Tích$k\vec{a} = (k x; k y; k z)$

Ví dụ 1: Cho$\vec{a} = (2; -1; 3)$. Tìm$-2\vec{a}$.

Giải:

$-2\vec{a} = (-2 \cdot 2; -2 \cdot (-1); -2 \cdot 3) = (-4; 2; -6)$.

Ví dụ 2: Cho hai điểm$A(1; 2; 3)$và $B(3; 0; 1)$. Tìm$3\overrightarrow{AB}$.

Bước 1: Tìm$\overrightarrow{AB} = (3 - 1; 0 - 2; 1 - 3) = (2; -2; -2)$.

Bước 2:$3\overrightarrow{AB} = (3 \cdot 2; 3 \cdot (-2); 3 \cdot (-2)) = (6; -6; -6)$.

5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Tích của số k với$\vec{a}=(x; y; z)$:$k\vec{a} = (k x; k y; k z)$.
• Biểu diễn$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)$.
• Độ dài:$|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$.
• Nếu$k > 0$cùng hướng, nếu$k < 0$ngược hướng.

6. Các biến thể thường gặp và cách điều chỉnh chiến lược

1. Biểu diễn một vectơ theo các vectơ cơ sở:$\vec{a} = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k} \Rightarrow k\vec{a} = kx\vec{i} + ky\vec{j} + kz\vec{k}$.
2. Bài toán về chia đoạn tỉ lệ: Cho$M$chia$AB$theo tỉ số $k$, thường cần tính$\overrightarrow{AM} = k\overrightarrow{AB}$hoặc$\overrightarrow{AM} = \lambda\overrightarrow{AB}$với$\lambda = \frac{AM}{AB}$.
3. Dạng kết hợp với tổng, hiệu vectơ trong hình học không gian:$k_1\vec{a} + k_2\vec{b}$.
4. Tìm điểm thỏa mãn điều kiện vectơ: chuyển về bài toán tìm tích số với vectơ giữa hai điểm.

7. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho$\vec{b} = (5; -1; 2)$, hãy tính$\frac{1}{2}\vec{b}$và $-\vec{b}$.

Giải:

$\frac{1}{2}\vec{b} = (\frac{1}{2} \cdot 5; \frac{1}{2} \cdot (-1); \frac{1}{2} \cdot 2) = (2.5; -0.5; 1)$.

$-\vec{b} = (-5; 1; -2)$.

Bài tập 2: Cho$A(1; 2; -1)$,$B(4; 5; 2)$. Tìm$\overrightarrow{AB}$và $-3\overrightarrow{AB}$.

Giải:

$\overrightarrow{AB} = (4-1; 5-2; 2 - (-1)) = (3; 3; 3)$.

$-3\overrightarrow{AB} = (-9; -9; -9)$.

8. Bài tập thực hành

• Cho$\vec{u} = (3; 4; -2)$. Tính$2\vec{u}$,$-\frac{1}{2}\vec{u}$.
• Cho vectơ $\vec{v} = (-1; 7; 0)$. Hãy tìm vectơ cùng hướng, ngược hướng với$\vec{v}$có độ dài gấp 3 lần$\vec{v}$.
• Cho$A(0; 2; 1)$,$B(5; -3; 4)$. Tìm$\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}$.
• Nếu$\vec{a} = (a; b; c)$, hãy biểu diễn$-4\vec{a}$dưới dạng tọa độ.

9. Mẹo ghi nhớ, lưu ý tránh sai lầm phổ biến

• Nhân số với TỪNG THÀNH PHẦN tọa độ, không chỉ nhân với một đại lượng.
• Không đổi hướng khi nhân với số dương, nhưng khi nhân với số âm phải ĐẢO CHIỀU vectơ.
• Chú ý trị tuyệt đối trong tính độ dài.
• Luôn kiểm tra lại hướng và giá trị độ dài vectơ.
• Tránh nhầm lẫn tích vô hướng (dot product) với tích một số với vectơ (scalar multiplication).

Hy vọng với hướng dẫn "cách giải bài toán tích của một số với một vectơ" trên, các bạn học sinh lớp 12 có thể tự tin xử lý tốt mọi dạng bài tập liên quan trong chương trình hình học không gian. Hãy luyện tập thêm để kỹ năng giải bài được thành thạo hơn!